Часть 2. Финансовые вычисления и оценка доходности ценных бумаг Простые и сложные проценты. Эффективная и номинальная процентные ставки

Прежде чем приступить к финансовым вычислениям по ценным бумагам, ознакомимся с основными понятиями финансовой математики. Рассмотрим начисление процентов по простой и сложной процентной ставкам.

Современная стоимость денег — PV (сокращение от "present value") — сумма, которой владелец обладает сегодня; FV— ("future value" — будущая стоимость денег) — сумма, которую владелец получит спустя определенное время.

(1)

где — процентная ставка банка.

Например, если банковская процентная ставка равна 10%, то через год сумма на счете вырастет в 1,1 раза. Доход обладателя счета составит .

Существует два способа начисления процентов: по простой процентной ставке и по сложной.

При начислении дохода по простой процентной ставке доход каждый раз начисляется на первоначально вложенную сумму (через год доход составит , через два года , через 5 лет - , через n лет - . Таким образом, при начислении дохода по простой процентной ставке через n лет на счете у владельца будет сумма:

(2)

При начислении дохода по простой процентной ставке промежуточные доходы не реинвестируются, т.е. на них не начисляется процент.

Соотношение (2) описывает линейную зависимость будущей стоимости денег FV от времени n. Таким образом, при начислении дохода по простой процентной ставке деньги на счете растут по линейному закону.

При начислении дохода по сложной процентной ставке i доход начисляется не на первоначальную, а на накопленную сумму. Промежуточные доходы в этом случае инвестируются или, как говорят, происходит начисление процента на процент. Если в конце первого года сумма на счете составляла , то в конце второго года она составит, в конце третьего —и т.д. По прошествииn лет сумма на счете владельца составит:

(3)

Коэффициент (4)

входящий в правую сторону соотношения (3), называется коэффициентом наращения.

Посмотрим, как изменяется сумма на банковском счете со временем при начислении дохода по простой и сложной процентным ставкам. К концу первого года доходы, полученные по обеим ставкам, одинаковы. В дальнейшем сумма растет быстрее (причем существенно), если начисление дохода происходит по сложной процентной ставке.

Если известна начальная стоимость денег PV и будущая стоимость денег FV, то доходность (сложная процентная ставка) за n лет составит:

(5)

Если мы интересуемся простой процентной ставкой, то ее можно определить с помощью соотношения:

(6)

Последнее выражение имеет простой смысл. Величина FV - PV, стоящая в числителе (6), — доход, полученный за все время п. Разделив доход на первоначальные инвестиции PV, получим доходность за весь срок. Чтобы получить годовую доходность, следует разделить еще на время n. Это метод расчета простой доходности сохраняется и в более сложных случаях, например, если производятся промежуточные выплаты.

Выбор простой или сложной ставки начисления, как правило, зависит от договоренности между кредитором и заемщиком. Однако, если инвестор хочет получить более точную и непротиворечивую оценку эффективности своих инвестиций, ему следует пользоваться сложными процентными ставками, так как данный подход является строго математическим, в то время как подход с использованием простых процентных ставок для оценки инвестиций является приближенным.

Приближенные расчеты с использованием простых процентных ставок существенно проще и их можно использовать для экспресс-оценок. Точные расчеты по сложной процентной ставке и приближенные по простой могут несущественно отличаться друг от друга, если величина доходности невелика, или если рассматриваются небольшие периоды времени.

Пример 1.

1000 руб. помещается в банк под 10% годовых. Определить стоимость вклада через 10 лет, если проценты начисляются:

а) по простой ставке, б) по сложной?

Решение:

а) При начислении дохода по простой ставке будущая сумма составит:

б) При начислении дохода с применением сложных процентных ставок

Пример 2.

Банк №1 начисляет доход из расчета 13% годовых. В рекламе банка №2 говорится, что сумма, помещенная на счет, удваивается каждые 6 лет. В каком банке выгоднее держать сбережения?

Решение: За 6 лет каждый рубль, вложенный в банк №2, превратится в , т.е. банк №2 предлагает более выгодные условия для инвестирования. Если мы хотим вычислить годовую доходность по вкладам в банке №1, то можно воспользоваться соотношением (5), подставив в него,,:

, т.е. мы опять убеждаемся, что доходность банка № 1 ниже доходности банка №2.

Перейдем теперь к определению таких понятий как эффективная и номинальная процентные ставки.

До сих пор мы рассматривали случай, когда процентная ставка начисляется один раз в году. Величина показывает, во сколько раз выросла сумма за один год. Такая процентная ставка называетсяэффективной (в дальнейшем эффективную процентную ставку будем обозначать буквой i ).

В действительности проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежеквартально (четыре раза в году), ежемесячно (12 раз), ежедневно (365 раз в году) и т.д. В этом случае мы имеем дело со сложной номинальной процентной ставкой j. Если указывается номинальная процентная ставка j, то всегда еще указывается, сколько раз в году начисляются проценты.

Рассмотрим пример, когда проценты начисляются ежемесячно. Тогда через месяц на счете у владельца будет сумма:

В течение следующего месяца проценты начисляются на эту сумму, поэтому в конце второго месяца сумма на счете составит:

через три месяца:

и т.д. Таким образом, через год сумма на счете составит:

(7)

Последнее соотношение можно записать, используя эффективную процентную ставку i:

(8)

Приравнивая (7) и (8), получим связь между эффективной и номинальной процентными ставками (при начислении процентов 12 раз в году):

(9)

Если номинальная ставка j начисляется т раз в году, то в конце первого года сумма на счете составит:

(10)

При этом, эффективная процентная ставка равна:

(11)

Соотношение (11) устанавливает связь между эффективной и номинальной ставками процента.

При финансовых вычислениях можно пользоваться как эффективной i, так и номинальной процентной ставкой j. При этом результаты расчетов не должны зависеть от выбора процентной ставки.

Пример 3. Банк начисляет доход на вложенную сумму из расчета 1,5% в месяц. Определить номинальную ставку и эффективную ставку начисления процентов.

Решение: Номинальная процентная ставка

Эффективная процентная ставка , или в процентах.