Ожидаемый риск портфеля

В общем случае предполагается, что инвестор избегает риска. Риск инвестора заключается в том, что он может получить доходность, отличную от ожидаемой. При этом часть портфельного риска привносится конкретным активом, а часть – самим рынком.

Риск портфеля может быть двух видов:

• систематический (недиверсифицируемый, рыночный) риск, кото­рый включает в себя общие экономические условия и не устраняется путем диверсификации;

• диверсифицируемый (несистематический) — риск, специфичный для каждого конкретного актива. Его величину можно изменять путем включения новых активов в портфель, т.е. путем диверсификации.

В практике портфельного инвестирования принято, что даже случайно выбранные 8-20 активов могут устранить диверсифицируемый риск. Идеальный портфель настолько диверсифицирован, что единственным риском является систематический риск.

Графически соотношения риска и возможность его снижения через диверсификацию можно представить следующим образом:

Так как риск представляет собой величину вероятностную, в качестве меры диверсифицируемого риска используются статистические показатели разброса случайной величины: дисперсия и стандартное отклонение. Они показывают, насколько и с какой вероятностью фактическая доходность актива может отличаться от величины его ожидаемой доходности (средней за период). Хотя для инвестора риск состоит только в том, что фактически доходность окажется ниже ожидаемой, эти показатели учитывают отклонения в обе стороны (+/ -). Следовательно, чем меньше дисперсия (стандартное отклонение), тем ниже риск.

Дисперсия доходности актива i рассчитывается следующим образом:

Таким образом, ожидаемые риски портфеля представляют собой сочетание дисперсий (стандартных отклонений) входящих в него активов.

Если доходность актива представлена выборкой данных за определенный период n (период наблюдения), рассчитывается величина выборочной дисперсии за представленный период на основе смещенных оценок:

Пример: Доходность актива за 3 года представлена в таблице. Определить риск актива, представленный показателем выборочной дисперсии доходности.

Решение:

1. = (10+14+18)/3=14%

2. = ((10-14)²+(14-14)²+(18-14)²) / 3 = 10,67%

При использовании данных о вероятностном распределении доходности актива его риск, представленный дисперсией, рассчитывается по формуле:

Применение дисперсии для оценки риска финансовых операций не всегда удобно, т.к. размерность дисперсии равна квадрату единицы измерения случайной величины. На практике результаты анализа более наглядны, если показатель выражен в тех же единицах, что и сама величина.

Для этого используется стандартное (среднеквадратическое) отклонение. Стандартное отклонение рассчитывается как квадратный корень из дисперсии.

Пример: Используя данные из вышеприведенного примера, определить стандартное отклонение.

Решение:

В связи с тем, что различные активы по-разному реагируют на конъюнктурные изменения рынка, ожидаемый риск портфеля в большинстве случаев не соответствует средневзвешенной величине стандартных отклонений доходностей входящих в него активов. Стандартное отклонение (риск) портфеля, состоящего из двух активов, на основе корреляции их доходностей вычисляется по следующей формуле:

Пример: Портфель состоит из активов X и Y. Инвестор купил актив X на 300 тыс. руб., актив Y на 900 тыс. руб. Стандартное отклонение доходности актива X в расчете на год 20%, актива Y 30%, коэффициент корреляции доходностей активов 0,6. Определить риск портфеля, измеренный стандартным отклонением.

Решение:

1. = 300/(300+900) = 0,25;

2. = 900/(300+900) = 0,75;

3. .

Степень взаимосвязи доходностей двух активов

При формировании портфеля степень взаимосвязи между доходностями двух активов можно определить с помощью показателей ковариации и корреляции.

Ковариация (covariance) – это статистическая мера взаимодействия двух случайных величин. Она говорит о степени зависимости двух переменных, например о зависимости доходностей двух ценных бумаг А и В.

Ковариация может принимать как положительные, так и отрицательные значения. При положительной ковариации доходностей двух бумаг с ростом доходности первой доходность второй будет расти. И наоборот, при падении доходности первой – доходность второй будет снижаться. При отрицательной ковариации рост доходности первой бумаги будет сопровождаться падением второй. Если ковариация равна нулю, то никакой зависимости не наблюдается либо она очень слаба. Чем больше значение ковариации, тем сильнее зависимость. Ковариация определяется по формуле:

Если необходимо рассчитать выборочную ковариацию, то приведенную формулу необходимо разделить на n периодов наблюдения (см. формулу выборочной дисперсии).

Ковариация зависит от единиц измерения величин, что ограничивает ее применение. Очень близкой к ковариации является другая статистическая мера – коэффициент корреляции (correlation coefficient). Он нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами независимых переменных. Ковариация двух случайных величин равна корреляции между ними, умноженной на произведение стандартных отклонений. Отсюда, коэффициент корреляции равен:

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и принимает значение от +1 до -1. В большинстве случаев он находится между двумя этими экстремальными значениями. Для независимых случайных величин корреляция близка к нулю.

Пример: Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены в таблице. Определить коэффициент корреляции между двумя активами.

Решение:

1. E(r_a) = 40*0,5+0*0,3+(-30*0,2) = 14%

2. E(r_в) = (-20*0,5)+0*0,3+40*0,2 = -2%

3. Сov_а,b = (40-14)(-20+2)+(0-14)(0+2)+(-30-14)(40+2)=-2344

4. = (40-14)²+ (0-14)²+ (-30-14)² =676+196+1936=2808; = 52,99

5. = (-20+2)² + (0+2)² + (40+2)²=324+4+1764=209; = 45,74

6. = -2344/52,99*45,74= - 0,967

При расчете риска портфеля, состоящего из нескольких активов, необходимо учесть парные ковариации (корреляции) всех входящих в него активов.

Дисперсия портфеля на основе ковариации доходностей, например для трех активов входящих в портфель, определяется по формуле:

Каждый член двойной суммы включает в себя произведение весов двух ценных бумаг и их ковариацию.

Пример: Российский инвестор купил акции компании A на 600 тыс. долл., компании В на 400 тыс. долл. Стандартное отклонение доходности акции компании A в расчете на день составляет 1,4%, компании В – 1,55%. Курс доллара 1долл.=25 руб., стандартное отклонение валютного курса в расчете на один день 0,43%, коэффициент ковариации между курсом доллара и доходностью акции компании A равен 0,0903, доходностью компании В – 0,05332. Ковариация доходностей акции компании A и компании В равна 1,736. Определить стандартное отклонение доходности портфеля в расчете на день.

Решение: Риск инвестора обусловлен 3 факторами, которые необходимо учесть при расчете: падением курса доллара, а также возможным падением котировок акций компаний А и В. Валютный риск учитывается полностью, поэтому его удельный вес принимается равным единице.

1. = 600/1000=0,6; = 400/1000=0,4;

2. =1²*0,43²+0,6²*1,4²+0,4²*1,55²+2*1*0,6*0,0903+2*1*0,4*0,05332+2*0,6*0,4*1,736=2,259196;

3. = = 1,503%.

Несложные алгебраические вычисления позволяют понять интерпретацию коэффициента корреляции:

• при объединении в портфель активов с корреляцией +1 риск не уменьшается, а лишь усредняется;

• идеальный портфель состоит из активов с корреляцией -1;

• при отрицательной корреляции между активами риск портфеля меньше средневзвешенной суммы рисков, привносимых каждым конкретным активом, поэтому при формировании портфеля необходимо стремиться к объединению активов с наименьшей корреляцией доходностей. Этот частный случай диверсификации называется хеджированием.

Коэффициент бета

Относительное изменение доходности акции (портфеля акций) по сравнению с доходностью рынка, характеризуется коэффициентом бета – β. Этот коэффициент измеряет относительную неустойчивость доходности актива (портфеля) в сравнении с репрезентативным показателем доходности рынка в целом (например, каким-либо представительным индексом рынка или фьючерсом на него). Математический смысл коэффициента β следует из формулы оптимального (эффективного) портфеля:

Исходя из этой формулы, теория инвестиционного портфеля позволяет сделать вывод: премия за риск любого актива, включенного в оптимальный портфель, пропорциональна премии за риск, связанной с портфелем в целом. Коэффициентом пропорциональности выступает β.

Бета портфеля представляет собой средневзвешенную сумму значений бета активов, его составляющих:

Т.к. бета портфеля является средним значением беты ценных бумаг, входящих в портфель, то нет оснований предполагать, что увеличение диверсификации портфеля вызовет изменение беты портфеля, и, соответственно, рыночного риска портфеля в какую-либо сторону. Диверсификация портфеля позволяет усреднить рыночный риск.

Бета конкретного актива рассчитывается по формуле:

Бета портфеля показывает, как рынок будет действовать на изменение доходности портфеля. Например, если бета портфеля равна 5, то увеличение доходности по рынку на 1% приведет к увеличению доходности портфеля на 5%. Такая же величина изменения риска, но в обратном направлении, приведет к снижению доходности портфеля на те же 5%.

Таким образом, активы с β > 1 более рискованны, чем с β < 1. С точки зрения ограничения рыночных рисков при формировании портфеля активы с отрицательной β более предпочтительны. Стремясь сформировать портфель с наименьшим β можно использовать индексный метод, когда структура формируемого портфеля копирует структуру какого-либо фондового индекса с широкой базой и пересматривается с его изменениями.

Пример: Доходность акции компании А и рыночного портфеля за четыре года представлены в таблице. Определить коэффициент бета акции относительного рыночного портфеля на основе смещенных оценок.

Решение:

1. = 0,75

2. = 0,5

5. = 7,875/14,6875=0,53617

Модель оценки стоимости активов (CAPM)

Финансовая теория гласит, что более рискованные активы должны предлагать более высокую ожидаемую доходность, и модели ценообразования активов это учитывают. В условиях хорошо развитого рынка информация быстро находит отражение на динамике курса ценных бумаг.

В середине 60-х годов XX века У.Шарпом и ДжЛинтерном была разработана модель, описывающая взаимосвязь между риском и ожидаемой доходностью актива. Она получила название модели оценки стоимости активов (Capital Asset Pricing Model, CAPM).

CAPM и исходит из того, что акции тем рискованнее, чем больше динамика их курса увязана с динамикой курсов на рынке в целом. CAPM является моделью одного временного периода.

Модель CAPM строится на основе нескольких предположений:

1. Оценка инвестиционных портфелей производится на основе ожидаемой доходности и стандартного отклонения.

2. Выбирая из двух портфелей, предпочтение отдается портфелю с наибольшей ожидаемой доходностью, при прочих равных условиях.

3. Выбирая из двух портфелей, предпочтение отдается портфелю с наименьшим стандартным отклонением, при прочих равных условиях.

4. При желании инвестор может купить часть акции, т.е. активы делимы.

5. Существует безрисковая процентная ставка, одинаковая для всех инвесторов, по которой можно получить кредит или дать в долг.

6. Налоги и операционные издержки несущественны.

7. Период инвестирования для всех инвесторов одинаков.

8. Информация свободна и незамедлительно получается всеми инвесторами.

9. Инвесторы имеют однородные ожидания, т.е. одинаково оценивают ожидаемую доходность, стандартное отклонение и ковариации доходностей ценных бумаг.

Зависимость между риском и ожидаемой доходностью графически описывается с помощью линии рынка капитала (Capital Market Line, CML).

Эффективные портфели находятся вдоль прямой , имеющей название линии рынка капитала (CML), и образуются различными комбинациями риска и доходности, получаемыми в сочетании рыночного портфеля с безрисковым заимствованием или кредитованием. Все остальные портфели, не использующие комбинации рыночного портфеля и безрискового заимствования или кредитования, будут лежать ниже CML.

Уравнение CML имеет следующий вид:

CML описывает соотношение риска и ожидаемой доходности только для широко диверсифицированных (эффективных) портфелей, но не отвечает на вопрос, какой ожидаемой доходностью должны обладать менее диверсифицированные портфели или отдельные активы.

На этот вопрос отвечает линия рынка актива (Security Market Line, SML).

SML проходит через точку М, отображающую рыночный портфель. Значение β для этой точки равно 1, а ожидаемая доходность равна . Так как значение беты для безрисковых бумаг равно 0, то SML должна проходить также через точку с координатами 0 и .

Ожидаемая премия за риск инвестиций, бета которых равна 0,5, составляет половину ожидаемой премии за рыноч­ный риск. Ожидаемая премия за риск инвестиций с бетой, равной 2,0, в два раза превышает ожидаемую премию за рыночный риск.

Ожидаемую доходность акций, превышающую безрисковую ставку , или «ожидаемую избыточную доходность», можно выразить следующим образом:

Инвестор всегда может получить ожидае­мую премию за риск , комбинируя рыночный портфель и безриско­вые займы. Так, на хорошо функционирующем рынке никто не держит ак­ции, предлагающие премию за ожидаемый риск, меньше, чем .

Угол наклона SML определяется отношением инвесторов к риску в условиях рынка, т.е. коэффициентом β (или коэффициентом наклона рыночной модели). Чем выше риск, тем более крутой наклон будет у SML.

Существуют ли какие-либо акции, лежащие выше линии рынка ценных бумаг? Если мы возьмем все акции в совокупности, мы получим рыночный пор­тфель. Следовательно, мы знаем, что акции в среднем располагаются на ли­нии. Так как ни одна не лежит ниже линии, то ни одна не может лежать и выше линии. Таким образом, любая акция должна лежать на линии рынка актива и обеспечивать премию за ожидаемый риск.

Так как ожидаемая доходность портфеля равна средневзвешенной доходностей активов, входящих в портфель, то каждый актив, а соответственно и портфель, будет лежать на SML. Следовательно, эффективные портфели лежат как на CML, так и на SML. Неэффективные портфели также лежат на SML, но ниже CML.

Константа пропорциональности – это ожидаемая избыточная доходность по рынку в целом. Часто ее называют премией к цене акций. Отсюда, ожидаемая доходность актива, определяемая с помощью уравнения SML, равна:

Пример: Предположим, что ожидаемая рыночная доходность равна 15%, безрисковая ставка равна 7%. Если «бета» акции равна 1,3, то какова ее ожидаемая доходность в соответствии с CAPM?

Решение: = 17,4%