2. Финансовые ренты
В финансовой деятельности нередко делается несколько следующих друг за другом платежей – поток денежных платежей. Таковы, например, ежегодные выплаты процентов по облигациям, периодические вклады в банк для образования страхового фонда, ежемесячные выплаты долга по потребительскому кредиту, получение ежемесячной стипендии от благотворительного фонда и тому подобные платежи. При всех таких платежах происходит начисление процентов на находящиеся в обороте деньги. При изучении потока платежей могут возникнуть две основные задачи: найти наращенную сумму потока платежей или, напротив, по наращенной сумме определить величину отдельного платежа. Для частного вида потока платежей – финансовых рент – разработаны математические методы решения подобных задач.
Финансовая рента – это поток платежей, все члены которого являются положительными величинами, а интервалы времени между двумя последовательными платежами – постоянны. При этом происходит начисление процентов.
Период ренты – это интервал времени между двумя последовательными платежами.
Срок ренты – это время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода.
Процентная ставка – это ставка, которая используется при наращении или дисконтировании платежей, из которых состоит рента.
Наращенная величина ренты – сумма всех членов ренты с начисленными на них процентами к концу срока ренты.
Современная величина ренты – сумма всех членов ренты, дисконтированных на начало срока ренты.
Выделяют следующие виды рент:
1. В зависимости от продолжительности периода ренты:
а) дискретные ренты;
б) годовые;
в) р-срочные (платежи по ренте делаются несколько раз в год);
г) непрерывные (поток платежей, которые производятся очень часто).
2. В зависимости от величины членов ренты:
а) постоянные;
б) переменные.
3. В зависимости от вероятности выплаты:
а) верные (обязательная выплата);
б) условные (выплата – при определенных условиях).
4. В зависимости от срока ренты:
а) ограниченные (с конечным числом членов);
б) бесконечные.
5. В зависимости от начала срока ренты:
а) немедленные;
б) отсроченные.
6. В зависимости от времени осуществления платежей:
а) постнумерандо (платежи производятся в конце периода ренты);
б) пренумерандо (платежи производятся в начале периода ренты).
Для постоянной годовой ренты постнумерандо наращенная величина ренты определяется по формуле
,
где S – наращенная сумма ренты;
R – величина годового платежа
– коэффициент наращения, определяемый по формуле
,
где n – срок ренты;
i – процентная ставка.
Современная величина постоянной годовой ренты постнумерандо определяется следующим образом
,
где A – современная величина ренты
– коэффициент приведения, который определяется по формуле
.
Наращенная и современная величина ренты пренумерандо определяются как наращенная и современная величина ренты постнумерандо с начисленными на нее процентами за один период, то есть
;
.
Коэффициенты наращения и для p-срочной ренты постнумерандо определяются, соответственно, по следующим формулам
;
,
где p – количество платежей в год (например, если платежи осуществляются ежемесячно, то р = 12.
Коэффициенты наращения и для р-срочной ренты постнумерандо с начислением процентов m раз в год рассчитываются по следующим формулам
;
.
Пример 1. Определите, какая сумма будет накоплена на счете г-на Иванова, если последний в течение 40 лет ежемесячно отчислял на счет $ 15, а банк ежемесячно начислял на остатки по счету процент, равный 6 % годовых.
Решение:
Используем наращенную величину ренты
.
Так как банк начисляет проценты ежемесячно, и средства на счет вносятся также ежемесячно, то коэффициент находим по следующей формуле
;
.
Теперь необходимо найти периодическую годовую уплату R
дол.
Тогда на банковском счете г-на Иванова через 40 лет будет следующая сумма денег
дол.
Пример 2. Определите, какой величины пенсию сможет выплачивать себе г-н Иванов, используя средства, накопленные на своем банковском счете в течение 20-ти последующих лет. Банк продолжает ежемесячно начислять на остаток средств на счете процент по ставке 6 % годовых.
Решение:
Используем современную величину ренты
.
Так как банк начисляет проценты ежемесячно, и средства со счета снимаются также ежемесячно, то коэффициент находим по следующей формуле
;
.
Величина A по условию задачи равна 29872,44 дол. Тогда годовая величина R будет равна
дол.
Теперь мы можем найти величину ежемесячной пенсии г-на Иванова
дол.
Для отсроченных рент наращенная сумма определяется аналогично, а современная величина ренты определяется следующим образом
,
где n – срок ренты без периода отсрочки;
k – период отсрочки.
Пример 3. 100 долларов выплачивается в конце каждого года, первая выплата совершается в конце четвертого года, последняя – через 10 лет. Проценты начисляются по ставке 20 % годовых. Определить наращенную и современную величину ренты.
Решение:
N = 7 лет. n + k = 10 k = 3 года.
;
.
Пример 4 (построение плана погашения долгосрочного кредита): кредит выдана на 5 лет в размере 100 млн руб. под 20 % годовых. Определить ежегодные расходы должника по обслуживанию долга (срочную уплату) и общую сумму затрат, если:
1. Кредит погашается единовременно в конце 5-го года, проценты начисляются и выплачиваются ежегодно.
2. Кредит погашается периодическими выплатами (1 раз в год) с уплатой основной суммы долга равными суммами и ежегодным начислением процентов на остаток основной суммы долга.
3. Проценты по кредиту выплачиваются ежегодно. Для погашения основной суммы долга создается погасительный фонд, куда в конце каждого года вносятся постоянные суммы (основная сумма долга погашается в конце срока ссуды). На средства в фонде начисляются проценты по ставке 15 % годовых.
4. Основная сумма долга с процентами погашаются единовременно в конце срока ссуды (проценты начисляются на условиях сложной процентной ставки). Для погашения кредита предприятие создает погасительный фонд, на средства которого начисляются проценты в размере 15 % годовых.
5. Долг (основная сумма + проценты) погашается равными годовыми платежами, проценты начисляются ежегодно на оставшуюся часть основной суммы долга.
Решение:
1. Ежегодные процентные выплаты I млн руб.
Ежегодные расходы первых 4-х лет = 20 млн руб.
Расходы 5-го года = 20 + 100 = 120 млн руб.
Общие расходы за 5 лет = 4·20 + 120 = 200 млн руб.
2.
Год | Остаток основной суммы долга на начало года | Погашение основной суммы долга | Уплата процентов | Срочная уплата (ежегодные расходы) = = Основная сумма + + проценты |
1 | 100 | 20 | 20 | 40 |
2 | 80 | 20 | 16 | 36 |
3 | 60 | 20 | 12 | 32 |
4 | 40 | 20 | 8 | 28 |
5 | 20 | 20 | 4 | 24 |
Итого | – | 100 | 60 | 160 |
3. Процентные выплаты и взносы в фонд – ежегодные расходы.
Ежегодные процентные выплаты I млн руб.
Sнаращен = 100 млн руб.
= .
Взносы:
Ежегодные расходы = 20 + 14,83 = 34,83 млн руб.
Общие расходы за 5 лет = 34,83 · 5 = 174,15 млн руб.
4. Ежегодные расходы – это периодические взносы R.
Наращенная сумма долга S = Р · (1+i)n = 100 · (1+0,2)5 = 248,832 млн руб.
= 6,7424
Общие расходы за 5 лет = 36,906 · 5 = 184,53 млн руб.
5. Срочная уплата – это есть платежи по ренте.
А = 100 млн руб.
.
Год | Остаток основной суммы долга на начало года | Погашение основной суммы долга | Уплата процентов | Срочная сумма (ежегодные расходы) = Основная сумма + проценты |
1 | 100 | 13,44 | 20 | 33,44 |
2 | 86,56 | 16,13 | 17,31 | 33,44 |
3 | 70,43 | 19,35 | 14,09 | 33,44 |
4 | 51,08 | 23,22 | 10,22 | 33,44 |
5 | 27,08 | 27,87 | 5,57 | 33,44 |
Итого | – | 100 | 67,2 | 167,2 |
- Раздел 1. Теория денег 10
- Раздел II. Кредит и ссудный капитал 70
- Раздел III. Банки и банковская система 100
- 1.2. Сущность денег
- 1.3. Функции и роль денег
- 1.4. Виды денег, их эволюция
- 1.5. Теории денег
- Тема 2. Денежная система
- 2.2. Эмиссия и выпуск денег. Денежная масса
- 2.3. Основные типы денежных систем
- Тема 3. Денежный оборот и его структура
- 3.2. Структура и принципы организации денежного оборота
- 3.3. Безналичные расчеты и принципы их организации
- 3.4. Формы безналичных расчетов
- 3.4.1. Расчеты платежными поручениями
- 3.4.2. Расчеты платежными требованиями
- 3.4.3. Расчеты платежными требованиями-поручениями
- 3.4.4. Расчеты с использованием аккредитивов
- 3 7 Бенефициар отправитель получатель 2 10 8
- 3.4.5. Расчеты чеками
- 3.4.6. Расчеты с использованием банковских пластиковых карт
- 3.5. Платежная система и организация межбанковских расчетов
- 3.6. Организация международных расчетов
- Тема 4. Деньги в международных экономических отношениях
- 4.2. Конвертируемость валюты. Валютные ограничения и валютный контроль
- 4.3. Валютный курс. Режимы валютного курса
- 4.4. Основные этапы эволюции мировой валютной системы
- 4.5. Международные финансово-кредитные организации
- 4.6. Платежный баланс
- Тема 5. Инфляция как социально-экономическое явление
- 5.2. Причины и социально-экономические последствия инфляции
- 5.3. Измерение и прогнозирование инфляции
- 5.4. Методы регулирования инфляции
- Тема 6. Сущность, функции и роль кредита
- 6.2. Функции и роль кредита
- 6.3. Законы и границы кредитных отношений
- Тема 7. Формы кредита
- 7.2. Банковский кредит
- 7.3. Коммерческий кредит
- 7.4. Потребительский кредит
- 7.5. Ипотечный кредит
- 7.6. Лизинговый кредит
- 7.7. Государственный кредит
- 7.8. Международный кредит
- 7.9. Отдельные специфические формы кредита
- Тема 8. Рынок ссудных капиталов
- 1. Понятие и характеристика рынка ссудных капиталов.
- 2. Структура рынка ссудных капиталов.
- 8.1. Понятие и характеристика рынка ссудных капиталов
- 8.2. Структура рынка ссудных капиталов
- Тема 9. Сущность и виды процента
- 9.2. Депозитный процент и депозитная политика банка
- 9.3. Процент по банковским кредитам
- Тема 10. Кредитная и банковская системы
- 10.2. Характеристика элементов кредитной системы
- 10.3. Банковская инфраструктура
- Тема 11. Центральный банк и его роль
- 11.2. Функции и операции центрального банка
- 11.3. Денежно-кредитная политика центрального банка
- 11.4. Национальный банк Республики Беларусь
- Тема 12. Коммерческие банки и их операции
- 1. Понятие, функции и роль коммерческих банков.
- 2. Банковские операции.
- 12.1. Понятие, функции и роль коммерческих банков
- 12.2. Банковские операции
- Тема 13. Кредитование юридических лиц коммерческим банком
- 13.2. Содержание кредитного договора
- 13.3. Основные формы обеспечения возвратности кредита
- Тема 14. Банковский менеджмент
- 1. Понятие и содержание банковского менеджмента.
- 2. Новые тенденции в банковском менеджменте.
- 14.1. Понятие и содержание банковского менеджмента
- 14.2. Новые тенденции в банковском менеджменте
- Тема 15. Банковский маркетинг
- Тема 16. Банковские риски
- 16.2. Кредитный риск и основы управления им
- 16.3. Процентный риск и риск ликвидности
- 16.4. Влияние рисков на прибыль банка
- Задания для практических занятий
- Вопросы теста а. Закрытые вопросы с одним вариантом ответа
- Б. Закрытые вопросы с несколькими вариантами ответа
- В. Открытые вопросы
- Кроссворды Кроссворд №1
- Кроссворд №2
- Кроссворд №3
- Кроссворд №4
- Методические указания по выполнению самостоятельной работы
- Тема 1. Происхождение, сущность и функции денег
- 1. Происхождение денег.
- Тема 2. Денежная система
- Тема 3. Денежные оборот и его структура
- Тема 4. Деньги в международных экономических отношениях
- Тема 5. Инфляция как социально-экономическое явление
- Тема 6. Сущность, функции и роль кредита
- Тема 7. Формы кредита
- Тема 8. Рынок ссудных капиталов
- Тема 9. Сущность и виды процента. Финансовые вычисления на основе процента.
- Тема 10. Кредитная и банковская системы
- Тема 11. Центральный банк и его роль
- Тема 12. Коммерческие банки и их операции
- Тема 13. Кредитование юридических лиц коммерческими банками
- Тема 14. Банковский менеджмент
- Тема 15. Банковский маркетинг
- Тема 16. Банковские риски
- Методические указания по решению задач
- 1. Применение вычислений на основе процента. Простые и сложные проценты
- 2. Финансовые ренты
- 3. Учет инфляции в финансовых вычислениях.
- Методические указания по выполнению курсовой работы
- 1. Общие требования, предъявляемые к курсовой работе
- 2. Структура курсовой работы
- 3. Рекомендуемый порядок выполнения курсовой работы
- 4. Оформление курсовой работы
- 5. Критерии оценки курсовой работы
- 6. Тематика курсовых работ1
- Методические указания по выполнению контрольной работы
- 1. Общие указания по методике выполнения работы
- 2. Задания к контрольной работе
- 1. Формы безналичных расчетов:
- Примерный перечень вопросов для подготовки к экзамену
- Рейтинговый контроль
- Литература
- Интернет-ресурсы
- Приложения
- Приложение 2
- Приложение 3 Множитель наращения для сложных процентов,