bankovskie_riski_-_problemy_ucheta / Беляков А

Движение денежных средств в ходе осуществления инвестиционного проекта

тыс. руб.

┌─────┬──────────────┬────────────┬──────────┬─────────────┬────────────┐

│ Год │Поступления от│Уплата долга│ Уплата │Остаток долга│Чистый доход│

│ │ проекта │ │процентов │ │ фирмы │

├─────┼──────────────┼────────────┼──────────┼─────────────┼────────────┤

│ 0 │ -1100 │ -600 │ 0 │ 0 │ -500 │

│ 1 │ -140 │ -200 │ 60 │ 600 │ 0 │

│ 2 │ 500 │ 200 │ 80 │ 800 │ 220 │

│ 3 │ 500 │ 200 │ 60 │ 600 │ 240 │

│ 4 │ 500 │ 200 │ 40 │ 400 │ 260 │

│ 5 │ 500 │ 200 │ 20 │ 200 │ 280 │

│ 6 │ - │ - │ - │ 0 │ - │

└─────┴──────────────┴────────────┴──────────┴─────────────┴────────────┘

В первый год вложения в проект и уплата процентов по кредитам нулевого года сделаны за счет новых кредитов (200 тыс. руб.). В дальнейшем долг погашался равными суммами, а оставшаяся часть поступлений составляла чистый доход фирмы.

В столбцах 3-4 приводятся итоговые результаты по получению кредитов и их обслуживанию, в столбце 5 - совокупные обязательства фирмы перед кредиторами.

Подробно вопрос планирования погашения долга освещен, например, в книгах Четыркина и Мелкумова*(84). По методам оценки инвестиционных проектов имеется обширная литература, для примера укажем книгу Ковалева*(85), а также официально утвержденные методические рекомендации*(86).

В рассмотренном примере фирма могла бы вначале все поступления от проекта направлять на погашение долга и лишь после его полного погашения получать чистый доход. Или, наоборот, оставить выплату долга на период завершения проекта. Существует бесконечно много вариантов получения кредитов и их обслуживания. Предполагается, что кредиторы предоставляют заемщику возможность выбрать среди них наиболее подходящий для себя. Такой порядок кредитных отношений называется кредитной линией. При этом выбор ограничивается некими естественными условиями, сформулированными ниже, предъявляемыми как заемщиком, так и кредиторами. Тем самым возникает задача нахождения оптимального плана обслуживания кредита.

Будем рассматривать следующие условия, ограничивающие выбор.

Ставка процента по кредиту должна быть меньше годовой нормы доходности проекта, устраивающей фирму. Поэтому использование заемных средств повышает доходность проекта для фирмы.

Совокупные обязательства фирмы по кредитам, привлеченным для финансирования проекта, не могут превышать некоторый установленный предел. Его превышение недопустимо в связи с возможной потерей фирмой финансовой устойчивости.

Все заемные средства должны быть возвращены не позднее момента завершения проекта.

В качестве критерия оптимальности будем использовать получаемый фирмой чистый приведенный доход (Net Present Value, NPV) от проекта с учетом обслуживания долга (далее NPV проекта).

Для математической формулировки задачи введем ряд обозначений.

Будем считать, что в конце года t в счет погашения процентов и части долга фирма уплачивает сумму pt. При этом сумма pt может быть недостаточной для уплаты процентов или даже отрицательной (фирма занимает дополнительную сумму). В этом случае остаток долга возрастает. Максимальная сумма совокупных обязательств равна Y. Ставка процентов по кредитам равна g.

В рамках рассматриваемой модели средства от проекта qt тоже поступают в конце года. Они могут быть немедленно использованы для расчетов по кредиту. Если средства вкладываются в проект, то qt < 0.

Полагаем, что для фирмы требуемая годовая норма доходности проекта равна i. Это означает, что проект устроит фирму, если ожидаемый NPV проекта, рассчитываемый по формуле:

q1 - q2

NPV = сумма (от t = 0 до n) (───────────)

(1 + i)

будет неотрицательным.

Отметим, что в качестве периода между платежами может рассматриваться не только год, но и любой другой срок, например месяц или квартал. Описываемая модель может применяться и в этом случае при условии, что вместо годовых процентных ставок будут использованы ставки за соответствующий период.

Поток платежей (p0, p1 ... рn) будем называть планом получения и использования кредитов, или просто планом, а его отдельные значения - составляющими плана.

Пример, приведенный в табл. 5.4, предполагает следующий план:

(-600, -140, 280, 260, 240, 220).

Направления потоков денежных средств, возникающих в ходе реализации проекта, представим в виде схемы, изображенной на рисунке.

"Рисунок 5.1."

Здесь Ф - фирма, У - лицо, по поручению фирмы управляющее денежными потоками, связанными с проектом (далее - управляющий), П - осуществляемый проект, К- кредиторы фирмы, в качестве которых естественно рассматривать кредитные организации.

В начальный момент времени (конец нулевого года) в проект инвестируется капитал (q0 < 0), складывающийся из собственных средств фирмы (q0 - p0 < 0) и кредитов (р0 < 0). В последующие годы эти три величины, вообще говоря, могут иметь значения разных знаков. Если показатель отрицательный, то денежные средства перемещаются в направлении, противоположном указанному стрелкой.

Дальнейшее изложение будет предполагать выполненным следующее условие.

Условие консолидированных затрат. Мы предполагаем, что фирма вкладывает свои средства в проект только один раз - в начальный момент времени. В дальнейшем управляющий производит дополнительные вложения в проект, текущие расчеты с кредиторами и полное погашение кредитов только за счет этих средств, поступлений от проекта и дополнительных заимствований в пределах максимальной суммы обязательств.

При выполнении этого условия, начиная с первого года осуществления проекта, поток денежных средств для фирмы неотрицателен (q - р = 0). Величины q и р по-прежнему могут принимать значения обоих знаков.

Разумеется, тот или иной проект может осуществляться по планам, не требующим от фирмы консолидированных затрат. Но для кредиторов предпочтительнее планы, для которых это условие выполняется. Дело в том, что в последнем случае фирма использует заемные средства только после того, как вложила в проект всю необходимую с ее стороны сумму собственных средств. Это может послужить дополнительным аргументом в пользу выдачи кредитов. Кредиторы принимают на себя риски, связанные с проектом лишь после того, как такие риски уже приняла на себя фирма, а не наоборот.

При выполнении условия консолидированных затрат фактически создается автономный бюджет проекта, не зависящий от остальной деятельности фирмы. Фирма вынуждена делать дополнительные вложения в проект только в том случае, когда в ходе осуществления проекта окажется, что реальные результаты хуже запланированных. Далее будет приведена такая ситуация.

Рассматриваемая задача максимизации NPV проекта эквивалентна задаче минимизации приведенной стоимости потока р, дисконтированного по ставке i.

сумма (от t = 0 до n) (───────────) min (5.2)

(1 + i)t

Обозначим через St остаток долга, накопленного на начало года t, где t принимает значения 0,1, ...,n, n + 1.

Так как фирма получает кредиты не ранее начала осуществления проекта, то:

S = 0 (5.3)

В случае выполнения фирмой своих обязательств перед кредиторами после завершения реализации проекта:

S = 0 (5.4)

n+1

Зависимость между платежами pt и остатками долга St задается формулой:

S = (l+g) x S - p (5.5)

t+1 t t

Или

P = (l + g) x S - S , t = 0, 1, ..., п. (5.6)

t t t+1

При выполнении условий (9.3) и (9.4) поток платежей (р0, р1 ..., рn) взаимно однозначно определяется последовательностью остатков долга (S0, S1, ..., Sn+1).

Эту последовательность мы также будем называть планом. Отметим частные случаи формулы (5.5):

S = -p ,

1 0

S = p /(1 + g).

n n

Преобразуем целевую функцию из условия (5.2):

"Формула 8"

Отсюда следует, что условие (5.2) эквивалентно условию:

сумма (от t = 1 до n) (────────────-) max. (5.7)

(1 + i)t

Будем предполагать, что остаток долга находится в пределах:

S >= 0, (5.8)

S <= Y. (5.9)

Собственные средства, вкладываемые фирмой в проект, тоже ограничены и не могут превосходить некоторого максимального значения H:

q - p >= -H

0 0

или

S >= -q - H. (5.10)

1 0

Как было отмечено, из условия консолидированных затрат следует, что:

q - p >= 0, t = 1, ..., n

t t

или

(1 + g) x S - S <= q , t = 1, ..., n. (5.11)

t t+1 t

Отметим, что если величины qt и pt отрицательны, то это означает, что дополнительные вложения в проект делаются не за счет средств фирмы, а за счет дополнительных кредитов.

Будем рассматривать задачу максимизации (5.7) с условиями (5.3), (5.4), (5.8)-(5.11). Планы, удовлетворяющие ограничениям задачи, будем называть допустимыми планами.

Аналогичная задача с другими ограничениями исследована Лапушинской и др.*(87).

Рассмотрим план:

q + S

* t t + 1

S = min (Y, ─────────────), (5.12)

t 1 + g

вычисляемый по убыванию значения t от n до 1.

Идея выбора такого плана состоит в следующем. Из формулы (5.7) следует, что значение критерия тем больше, чем больший остаток долга фирме удается поддерживать. Это полностью согласуется с экономической сутью задачи. Дело в том, что фирма берет в долг по ставке g, а доходность от проекта должна быть не меньше, чем i. А так как g < i, то каждый дополнительный рубль, взятый в долг и возвращенный через некоторое время, увеличивает NPV проекта. План, построенный по формуле (5.12), позволяет поддерживать остаток долга на максимальном уровне, при котором последующие поступления достаточны для завершения расчетов по кредитам.

Утверждение. План S* обладает следующими свойствами.

Свойство доминирования. Все составляющие любого допустимого плана S не превосходят соответствующих составляющих плана S*:

S <= S (5.13)

t t

Свойство оптимальности. Если план S* удовлетворяет условиям (5.8) и (5.10), то он оптимален, а если не удовлетворяет, то не существует допустимых планов задачи.

Доказательство. Пусть (S*1, S*2, ..., S*n, 0) - план, построенный с помощью описанного алгоритма, a (S1, S2, ..., Sn, 0) - любой допустимый план задачи. Для любого t = 1, ..., n справедливо одно из двух соотношений:

S = Y, (5.14)

q + S

* n t+1

S = ───────────- (5.15)

t 1 + g

Неравенство (5.13) докажем по индукции. Пусть m = n.

Если выполняется (5.14), то утверждение следует из условия (5.9).

Если выполняется (5.15), то из условий (5.11) и (5.4) следует:

qn *

S <= ───────────── = S .

n 1 + g n

Предположим, что утверждение верно для т = t +1. Докажем, что оно верно для m = t. Для случая (5.14) утверждение следует из условия (5.9). Для случая (5.15):

q + S q + S

t t+1 t t+1 *

S <= ────────────- <= ───────────── = S .

t 1 + g 1 + g t

Второе неравенство справедливо по предположению индукции.

Доказательство свойства оптимальности теперь следует из того, что все коэффициенты целевой функции условия (5.2) положительны.

Из свойства доминирования, в частности, следует, что для любого допустимого плана:

q - p = q + S <= q + S .

0 0 0 1 0 1

Выражение в левой части последнего неравенства равно первоначальным вложениям фирмы в проект. Напомним, что в наших обозначениях они отрицательны. Из неравенства следует, что для того, чтобы обойтись без дополнительных вложений, в первоначальный момент фирма должна вложить в проект не меньше, чем q0 + S*1 с обратным знаком.

Например, если q0 = -1000, S*1 = 350, то первоначальные затраты фирмы, освобождающие ее от дальнейших вложений в проект в случае его планомерного исполнения, должны быть не менее 650:

q - p < = q + S = -650.

0 0 0 1

Величину q0 + S*1 с обратным знаком назовем показателем минимальных затрат.

Далее мы покажем, что задача сохранит экономический смысл и в том случае, если исключить из ее постановки неравенство (5.8). Для этого вначале рассмотрим, что происходит, когда неравенство нарушается. Если остаток долга отрицателен, то это значит, что фирма передала своим кредиторам денежные средства, превышающие необходимые для погашения долговых обязательств. Тем самым она создала фонд, который может быть использован для финансирования необходимых дополнительных вложений в проект на тот случай, когда дальнейшие заимствования окажутся невозможными по условию ограничения совокупных обязательств. На практике такой фонд может создаваться на депозитном счете какого-либо банка, или в качестве пакета высоколиквидных ценных бумаг, или каким-то иным способом. В дальнейшем этот фонд может пополняться из поступлений от проекта.

Например, пусть первые несколько лет проект требует вложений, превышающих допустимый максимум совокупных обязательств. Тогда в начальный момент инвестиции делаются за счет фирмы, и одновременно она формирует фонд, необходимый для финансирования имеющегося превышения. В дальнейшем сначала используется этот фонд и лишь потом берутся кредиты.

Допустив возможность создания такого фонда, мы приходим к задаче максимизации (5.7) с условиями (5.3), (5.4), (5.9)-(5.11), которая заметно расширяет возможности управления финансированием проекта по сравнению с предыдущей задачей, включающей условие (5.8). В самом деле, если потребовать выполнения условий (5.8) и (5.11), то придется отвергнуть все проекты, требующие ликвидационных вложений, то есть те проекты, у которых qn < 0.

В новых условиях предполагается, что фирме уплачиваются на остаток средств в этом фонде проценты по той же ставке, по которой она платит за кредиты. На практике же эти две ставки не совпадают. Возникает необходимость учета разницы между ними в рамках модели.

Будем полагать, что средства фонда размещаются по ставке г, причем:

r < g. (5.16)

При выборе оптимального плана естественно считать, что в любой момент времени либо обязательства, либо требования равны нулю. В самом деле, если фирма одновременно имеет ненулевые остатки по кредиту и депозиту, то в силу условия (5.16) она терпит убытки и поэтому такой план не будет оптимальным.

При таких предположениях величина St означает либо остаток долга, если она положительна, либо накопленную сумму фонда, если она отрицательна. Чтобы не вводить новый термин, в обоих случаях будем по-прежнему называть ее остатком долга.

Формула (5.5), устанавливающая зависимость между платежами и остатками долга, в новых условиях будет иметь вид:

"Формула 5.17"

Формула (5.12) преобразуется к виду:

"Формула 5.18"

Непосредственным вычислением, аналогичным выводу формулы (5.7), доказывается, что критерий оптимальности принимает вид:

"Формула 5.19"

План, рассчитанный по формуле (5.18), также обладает свойствами доминирования и оптимальности. Доказательство этого проводится аналогично изложенному выше с учетом того, что каждое слагаемое критерия (5.19) является монотонно возрастающей функцией переменной St.

Разумеется, реальное осуществление проекта вряд ли возможно в точном соответствии с заранее выбранным планом. Могут быть допущены ошибки в суммах ожидаемых вложений в проект и поступлений от него, могут измениться процентные ставки, получение требуемых кредитов в необходимых объемах и в заранее определенные сроки может вызвать трудности и т.д.

Тем не менее, на наш взгляд, построение плана S* является важным инструментом анализа инвестиционного проекта как для фирмы, так и для ее кредиторов. Этот план является при определенных условиях оптимальным, и поэтому он заслуживает рассмотрения. Построение плана S* позволяет определить показатель минимальных затрат фирмы по проекту. Сравнение этого показателя с финансовыми показателями деятельности фирмы может быть одним из оснований для принятия решения кредитными организациями о предоставлении фирме кредита или отказе в нем. Обслуживание долга по плану S* снижает кредитный риск для кредиторов, так как максимально учитываются возможности заемщика управлять своими обязательствами.

Принятый к исполнению план S* в ходе осуществления может подвергаться корректировкам, вызванным изменившимися условиями.

Перейдем к рассмотрению числовых примеров. Они рассчитаны с помощью алгоритма, реализованного в виде электронной таблицы Excel.

Содержание