3.1 Функция полезности. Теория ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна

Функция полезности строится на основе субъективных предпочтений инвестора, поэтому "практический способ построения такой функции состоит в том, чтобы для нескольких реальных ситуаций выяснить предпочтения инвестора между двумя возможными решениями в каждой из этих ситуаций, а затем найти функцию, которая принимала бы большее значение для тех решений, которые более предпочтительны"Медведев Г.А. Теория принятия финансовых решений (оптимальные портфели): учеб. пособие / Г.А. Медведев, - Минск: БГУ, 2014. - С. 11. Сама функция полезности - это "это такой способ приписывания каждому возможному потребительскому набору некоего численного значения, при котором более предпочитаемым наборам приписываются большие численные значения, чем менее предпочитаемым"Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход: Учебник для вузов/Пер, с англ, под ред. НЛ. Фроловой. - М.: ЮНИТИ, 1997. - С. 72. Смысл приписывания полезности заключается в ранжировании возможных альтернатив для выбора той, полезность от которой выше. Действия индивида при этом считаются рациональными, то есть целью индивида является максимизация ожидаемого значения функции полезности. В одном из источниковСеренков П.С. , Гуревич В.Л. , Романчак В.М. , Янушкевич А.В. Методы менеджмента качества. Методология управления риском стандартизации / П.С. Серенков и др. - М.: НИЦ ИНФРА-М; Мн.: Нов. знание, 2014. - С. 26 отмечается, что в экономике функция полезности может показывать предпочтения инвестора относительно рисков и различной доходности некоторых проектов.

Функция полезности u (x) должна быть монотонно неубывающей и должна быть определена на всем положительном множестве. Непрерывная функция полезности может быть вогнутой, выпуклой или линейной. Вогнутая функция полезности описывает отношение к риску, подчиняющееся закону убывающей предельной полезности, то есть чем больше капитал инвестора, тем менее полезен для него единичный прирост этого капитала. Индивидов с такой функцией полезности принято называть рискофобами или не склонными к риску. Выпуклая функция полезности характеризует поведение индивидов, склонных к риску, или рискофилов. Для них по мере роста богатства полезность единичного прироста капитала возрастает. Линейная функция полезности описывает поведение инвесторов, нейтральных к риску. Нейтральных к риску инвесторов интересует лишь ожидаемое значение полученного богатства независимо от степени риска получения этого богатства.

В теории ожидаемой полезности возможные наборы благ, которые могут быть получены с определенной вероятностью, называются "лотереями". Результатом лотереи является значение показателя прибыли, то есть прибыль представляет собой вероятностное распределение.

Создателями функции ожидаемой полезности стали Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн, которые от выбора между некоторыми исходами перешли к выбору между лотереями, включающими несколько неопределенных исходов. Их теорема формулируется следующим образом: "действуя в условиях риска, рациональный экономический субъект стремится максимизировать математическое ожидание своей индивидуальной функции полезности". Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. - М.: Наука, 1970. - С. 29

Для того чтобы предпочтения индивида были представимы с помощью функции ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна, необходимо, чтобы выполнялсяряд аксиом:

1. Рациональность

Рациональность включает в себя предположения о полноте, транзитивности и рефлективности предпочтений между лотереями. Полнота предпочтений означает, что при выборе между двумя лотереями выполняется следующее: либо первая лотерея предпочтительнее второй, либо вторая предпочтительнее первой, либо они равносильны. Транзитивность предполагает, что если первая лотерея предпочтительнее второй, а вторая предпочтительнее третьей, то первая также будет предпочтительнее третьей. Рефлективность предпочтений означает, что набор благ должен быть не лучше и не хуже себя самого.

2. Независимость

Независимость предпочтений означает, что если существуют три лотереи и первая лотерея предпочтительнее второй (L₁?L₂), то независимо от третьей лотереи должно выполняться следующее соотношение: