10.5. Примеры решения некоторых задач

Приведем примеры решения некоторых задач, которые стали клас­сическими и используются при изучении курса «Рынок ценных бумаг».

Рыночная стоимость финансовых инструментов

Задача 1. Определите цену размещения коммерческим банком своих векселей (дисконтных) при условии: вексель выписывается на сумму 1 000 000 руб. со сроком платежа 30 дней, банковская ставка — 60% годовых. Считать год равным 360 календарным дням.

Решение. При решении поставленной задачи необходимо учесть основной принцип, который выполняется при нормально функциони­рующем фондовом рынке. Этот принцип состоит в том, что на таком рынке доходность различных финансовых инструментов должна быть приблизительно одинаковой. Инвестор в начальный момент времени имеет некоторую сумму денег X, на которую он может:

• либо купить вексель и через 30 дней получить 1 000 000 руб.;

• либо положить деньги в банк и через 30 дней получить такую же сумму.

Доходность в обоих случаях должна быть одинаковой. В случае покупки векселя доход равен: D = 1000 000 - X. Затраты составляют: Z=Х.

Поэтому доходность за 30 дней равна

d₁ = D/Z - (1 000 000 - Х)/Х.

Во втором случае (банковский депозит) аналогичные величины равны

D - X(1+) - X; Z = X; d₂ = D/Z= [Х(1+) - Х]/Х.

Отметим, что в данной формуле используется — банковская ставка, пересчитанная на 30 дней и равная:  = 60  30/360 = 5%.

Приравнивая друг другу доходности двух финансовых инструмен­тов (d₁ = d₂), получаем уравнение для вычисления X:

( 1 000 000 - Х)/Х - (X 1 ,05 - Х)/Х.

Решая это уравнение относительно X, получим

Х= 952 380,95 руб.

Задача 2. Инвестор А купил акции по цене 20 250 руб., а через три дня с прибылью продал их инвестору В, который в свою очередь, спустя три дня после покупки, с прибылью перепродал эти акции инвестору С по цене 59 900 руб. По какой цене инвестор В купил указанные бумаги у инвестора А, если известно, что оба этих инвесто­ра обеспечили себе одинаковую доходность от перепродажи акций?

Решение. Введем обозначения:

P₁ — стоимость акций при первой сделке;

Р₂ — стоимость акций при второй сделке;

Р₃ — стоимость акций при третьей сделке.

Доходность операции, которую смог обеспечить себе инвестор А:

d_a = (P₂ – P₁)/P₁

Аналогичная величина для операции, выполненной инвестором В:

d_B = (Р₃ - Р₂)/Р₂.

По условию задачи d_a = d_B, или P₂/P₁ — 1 = Р₃/Р₂ — 1.

Отсюда получаем Р²₂ = Р₁, Р₃ = 20250 - 59900.

Ответ данной задачи: Р₂ = 34 828 руб.

Доходность финансовых инструментов

Задача 3. Номинальная стоимость акций АО — 100 руб. за акцию, текущая рыночная цена — 600 руб. за акцию. Компания выплачивает квартальный дивиденд в размере 20 руб. на акцию. Чему равна теку­щая доходность акций АО в годовом исчислении?

Решение. Обозначения, принятые в задаче:

N = 100 руб. — номинальная стоимость акции;

X = 600 руб. — рыночная цена акции;

d_K = 20 руб/квартал — доходность облигации за квартал.

Текущая доходность в годовом исчислении d_г определяется как частное от деления дохода за год D на затраты на приобретение данно­го финансового инструмента X:

d_г = D/X.

Доход за год вычисляется как суммарный поквартальный доход за год: D = 4 d_г - 4  20 = 80 руб.

Затраты на приобретение определяются рыночной ценой данного финансового инструмента Х=600 руб. Текущая доходность равна

d_г = D/X = 80 : 600 = 0, 1333, или 13,33%.

Задача 4. Текущая доходность привилегированной акции, объяв­ленный дивиденд которой при выпуске 11%, а номинальная стои­мость 1000 руб., в текущем году составила 8%. Корректна ли такая ситуация?

Решение. Обозначения, принятые в задаче: N = 1000 руб. — номинальная стоимость акции;

q = 11% — объявленный дивиденд привилегированной акции;

d_г = 8% — текущая доходность; X = рыночная цена акции (неизвестна).

Приведенные в условии задачи величины связаны между собой соотношением

d_г = qN/X.

Можно определить рыночную цену привилегированной акции:

X - qN/d_г - 0,1 1  1000 : 0,08 - 1375 руб.

Таким образом, описанная в условиях задачи ситуация корректна при условии, что рыночная цена привилегированной акции составляет 1375 руб.

Задача 5. Как изменится в процентах к предыдущему дню доход­ность к аукциону бескупонной облигации со сроком обращения один год (360 дней), если курс облигации на третий день после проведения аукциона не изменится по сравнению с предыдущим днем?

Решение. Доходность облигации к аукциону (в пересчете на год) на третий день после его проведения определяется по формуле

d₃ =  .

где X — аукционная цена облигации, % к номиналу;

Р — рыночная цена облигации на третий день после аукциона.

Аналогичная величина, рассчитанная на второй день, равна

d₂ =  .

Изменение в процентах к предыдущему дню доходности облига­ции к аукциону:

= - = 0,333333,

или 33,3333%.

Доходность облигации к аукциону уменьшится на 33,3333%.

Задача 6. Облигация, выпущенная сроком на три года, с купоном 80% годовых, продается с дисконтом 15%. Вычислить ее доходность до погашения без учета налогообложения.

Решение. Доходность облигации до погашения без учета налогооб­ложения равна

d = ,

где D — доход, полученный по облигации за три года;

Z — затраты на приобретение облигации;

 — коэффициент, пересчитывающий доходность на год.

Доход за три года обращения облигации состоит из трех купон­ных выплат и дисконтного дохода при погашении. Таким образом, он равен

D = 0,8N3 + 0,15 N= 2,55 N.

Затраты на приобретение облигации равны

Z = 0,85N.

Коэффициент пересчета доходности на год, очевидно, равен  = 1/3. Следовательно,

d =  = 1, или 100%.

Задача 7. Курс акций вырос за год на 15%, дивиденд выплачивался раз в квартал в размере 2500 руб. за акцию. Определите полную доход­ность акции за год, если в конце года курс составил 11500 руб. (нало­гообложение не учитывать).

Решение. Доходность акции за год вычисляется по формуле

d = D/Z,

где D — доход, полученный владельцем акции;

Z — затраты на ее приобретение.

D — вычисляется по формуле D =°Д + 5,

где  — дисконтная часть дохода;

 — процентная часть дохода.

При этом = (Р₁ — P₀),

где Р₁— цена акций к концу года;

P₀— цена акций в начале года (отметим, что P₀ = Z).

Так как в конце года стоимость акции была равна 11 500 руб., причем рост курсовой стоимости акций составил 15%, то, следователь­но, в начале года акция стоила 10 000 руб. Отсюда получаем:

 = 1500руб.,

 = 2500  4 = 10 000 руб. (четыре выплаты за четыре квартала),

D =  +  = 1500 + 10 000 = 11 500 руб.;

Z = P₀= 10000руб.;

d = D/Z= 11500: 10000 = 1,15, или d = 115%.

Задача 8. Векселя со сроком платежа, наступающим через 6 меся­цев от составления, реализуются с дисконтом по единой цене в течение двух недель от момента составления. Считая, что каждый месяц содер­жит ровно 4 недели, рассчитайте (в процентах) отношение годовой доходности по векселям, купленным в первый день их размещения, к годовой доходности по векселям, купленным в последний день их размещения.

Решение. Годовая доходность по векселям, купленным в первый день их размещения, равна

d₁ = (D/Z) - 12/t = /(1 - )  12/6 = /(1 - ) . 2,

где D — доход по облигации, равный D = N;

N — номинал облигации;

 — дисконт в процентах от номинала;

Z — стоимость облигации при размещении, равная Z = (1 — ) N;

t — время обращения облигации, купленной в первый день ее выпуска (6 месяцев).

Годовая доходность по векселям, купленным в последний день их размещения (через две недели), равна

d₂ = (D/Z)  12/ t = /(1 - ) - (12 : 5,5) = /(1 - ) . 2, 181818,

где t — время обращения облигации, купленной в последний день ее выпуска (через две недели), равное 5,5 месяца.

Отсюда d₁/d₂ = 2 : 2,181818 = 0,9167, или 91,67%.

Задача 9. Инвестор купил, а затем продал акции, получив при этом доходность в размере 9%. Какую доходность получил бы инвестор, если бы цена покупки акций была на 8% больше?

Решение. Доходность операции по купле-продаже ценных бумаг определяется по формуле

d = d/Р_пок,

где D — доход, полученный по акции и равный D = Р_пр — Р_пок;

Р_пок — цена покупки акции;

Р_пр — цена продажи акции.

Требуется определить, чему равняется доходность

d₁ = (Р_пр - Р_пок  1,08) / (Р_пок  1,08)

при условии, что d₂ = (Р_пр - Р_пок)/Р_ппк = 0,09.

Можно преобразовать d₂ к виду d₂ = (Р_пр/Р_пок — 1) = 0,09.

Отсюда получаем Р_пр/Р_пок = 1,09.

Преобразуем d₁ к виду d₁= Р_пр/(Р_пок 1,08) — 1.

Учитывая выражение для Р_пр/Р_пок, получаем формулу

d₁ = (1,09: 1,08 - 1) = 1,009259 - 1 = 0,009259, или d₁ = 0,9259%.

Инвестиционный портфель

Задача 10. Инвестор приобрел 10 акций (3 акции компании А, 2 акции компании Б и 5 акций компании В с равными курсовыми стоимостями). Спустя 3 месяца совокупная стоимость указанного па­кета акций увеличилась на 20%. При этом курсовая стоимость акций В уменьшилась на 40%, а курсовая стоимость акций А стала в 2 раза больше курсовой стоимости акций Б. Укажите, на сколько процентов увеличилась курсовая стоимость акций Б? Ответ вписывается само­стоятельно.

Решение. Исходная стоимость инвестиционного портфеля равна

3 Х_A + 2 Х_Б + 5 Х_B = 10Х

Через три месяца стоимость инвестиционного портфеля стала равной

3 Х'_A + 2 Х'_Б + 5 Х_B - 0,6 = 10Х  1,2 .

Данное выражение можно преобразовать к виду

3 Х'_A + 2 Х'_Б + 3 Х =12X.

Из условия задачи известно, что курсовая стоимость акций компа­нии А стала в 2 раза больше курсовой стоимости акций компании Б. Таким образом, справедливо соотношение

Х'_A = 2 Х'_Б .

В этом случае, подставляя последнее выражение в уравнение для конечной стоимости инвестиционного портфеля, получаем формулу

32 Х'_Б + 3Х =12Х.

Отсюда получаем уравнение 8Х'_Б = 9Х, решая которое найдем Х'_Б = 1,125Х.

Таким образом, курсовая стоимость акций Б возросла на 12,5%.

Задача 11. Какая схема вложения денежных средств представля­ется наиболее выгодной:

1) вложение денежных средств на один день под 70% годовых с последующим ежедневным реинвестированием денежных средств на таких же условиях в течение месяца;

2) вложение на 10 дней под 80% годовых с последующим реинвестированием полученных денежных средств каждую декаду в течение месяца;

3) вложение на один месяц под 120% годовых.

В задаче принять, что в году 360 дней и в месяце 30 дней. Задачу решать без учета налогообложения.

Решение. Имея денежные средства в объеме Х₀ руб. и используя предложенные схемы, через месяц получаем:

• по первой схеме X₁ = Х₀ (1 + 0,7 : 360)³⁰ = Х₀  1,058;

• по второй схеме Х₂ = Х₀ (1 + 0,8 : 36)³ = Х₀  1,068;

• по третьей схеме Х₃ = Х₀ (1 + 1,2 : 12) = Х₀  1,1. Таким образом, наиболее выгодной является третья схема вложе­ния денежных средств.

Задачи на инфляцию

Задача 12. Инфляция в месяц равна 7%. Какова инфляция за год? Решение. Зная инфляцию за месяц, инфляцию за год можно вычис­лить по формуле (1 + 0,07)¹² = (1+ ).

Отсюда получаем  = 1, 252, или инфляция за год равна 125%.

Задача 13. Среднемесячная инфляция уменьшилась с 6 до 5%. На сколько изменится инфляция в пересчете на год?

Решение. Зная инфляцию за месяц () инфляцию за год () можно вычислить по формулам:

(1 + 0,06)¹² = (1 + ₁) — в случае инфляции, равной 6%,

(1 + 0,05)¹² = (1 + ₂) — в случае инфляции, равной 5%.

Получаем ₁ = 1,012, или ₁ 101% годовых и ₂ = 0,796, или ₂  80% годовых. Отсюда уменьшение инфляции в пересчете на год составля­ет 21%.

Выводы

Специалистам, работающим на фондовом рынке, постоянно при­ходится оценивать параметры, характеризующие операции с ценными бумагами. При этом необходимо найти ответы на следующие вопросы:

• какова доходность операций, осуществляемых с выбранным фи­нансовым инструментом;

• сравнение доходности операций с различными финансовыми инструментами;

• чему равна рыночная стоимость ценных бумаг;

• определение суммарного дохода, который приносит ценная бу­мага (процентного или дисконтного);

• установление срока обращения ценных бумаг, которые выпус­каются с заданным дисконтом, для получения приемлемой доходности и т.п.

При решении подобных задач весьма эффективным является метод альтернативной доходности. Он состоит в том, что при нормаль­но функционирующем фондовом рынке доходности различных фи­нансовых инструментов приблизительно равны друг другу. Особен­ность его реализации заключается в том, что методика решения боль­шого количества различных вычислительных задач, связанных с чис­ленной оценкой параметров операций на фондовом рынке, может быть представлена в виде «пошагового» алгоритма их решения.

Практика использования данного метода показала, с одной сторо­ны, возможность решения с его помощью практически любых вычис­лительных задач, с которыми специалист может столкнуться при со­вершении операций на фондовом рынке, а с другой — необходимость дополнения общего метода частными методиками, справедливыми для узкого круга задач, и формулами для быстрой оценки параметров.

Были рассмотрены методики осуществления финансовых расче­тов для следующих групп задач:

• собственные и заемные средства при совершении сделок с ценными бумагами;

• страхование финансовых рисков;

• осуществление операций с бескупонными облигациями.

Кроме того, был рассмотрен метод дисконтирования денежных потоков, до последнего времени широко использовавшийся в финан­совых вычислениях, который является частным случаем метода аль­тернативной доходности. Он отвечает случаю, когда в качестве альтер­нативной доходности выбирается ставка банковского депозита.

Существует группа задач, которые в принципе невозможно ре­шить методом альтернативной доходности. К этой группе относятся задачи качественного анализа операций с опционами. Для решения данных задач применяется графическая методика качественной оцен­ки финансовых результатов операций с производными ценными бу­магами. В качестве основных графиков выступают зависимости, отра­жающие финансовые результаты покупки и продажи опционов пут и колл.