Антисипативный метод начисления сложных процентов (сложные учетные ставки)

Введем следующие обозначения:

d_с – сложная учетная ставка;

f – номинальная годовая учетная ставка (применяется при начислении процентов по учетной ставке несколько раз в году);

Формула дисконтирования по сложной учетной ставке:

P = S (1 - d_с)ⁿ.

Наращенная сумма через n лет: S = P / (1 - d_с)ⁿ.

Здесь 1 / (1 - d_с)ⁿ – коэффициент наращения по сложной учетной ставке.

При равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативным методом) идет быстрее. Поэтому в литературе можно встретить утверждение о том, что декурсивный метод начисления процентов более выгоден заемщику, а антисипативный – кредитору. Однако это можно считать справедливым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно. Но с ростом процентной ставки разница в наращенных суммах становится огромной (и растет с ростом %), и сравнение этих двух методов теряет всякий смысл.

Из формулы следует, что учетная ставка может принимать значения только строго меньше 100%. Наращенная сумма быстро увеличивается с ростом учетной ставки, стремясь к бесконечности.

Если учетная ставка изменяется в течение срока ссуды:

N

S = P / Π (1 – n_t d_t).

t=1

Здесь n₁, n₂, … n_N – продолжительность интервалов начисления в годах;

d₁, d₂, … d_N – учетные ставки в этих интервалах;

Если начисление процентов m раз в году, то

S = P / (1 – f/m)^mn.

Если провести расчеты S для разных видов процентных ставок (простых и сложных ссудных и учетных) при одинаковых Р и размерах процентных ставок, то наибольший рост капитала получится в случае начисления процентов по простой учетной ставке.

Задача 17

Первоначальная сумма долга – 25 тыс. р. Определить наращенную сумму через 3 года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая процентная ставка – 25%.

Решение:

S₁ = 25 000 (1 + 0.25)³ = 48 828,125 р.;

S₂ = 25 000 (1 – 0.25)^-3 = 59 255,747 р.

Решите самостоятельно

Задача 18

Определить современное значение суммы в 120 000 р., которая будет выплачена через 2 года при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.

Ответ: 76 800 р

Задача 19 .

Определить наращенные суммы для различных видов процентных ставок при одинаковых начальных условиях: P = 10 000 р., процентная ставка = 10%.

Результаты расчетов свести в таблицу и сравнить скорости наращения.

Для примера в верхней строке приведены результаты расчетов наращенных сумм по простой ссудной ставке при сроках ссуды, равных одному, трем и шести годам. Пустые строки следует заполнить самостоятельно.

В формуле расчета для непрерывного начисления процентов e – основание натурального логарифма. Для n = 1: S = 10 000 х 2.7^{0.1 х 1} = 11 044.