7.1. Цена облигаций

Облигация имеет номинал (или номинальную цену), эмиссионную цену, цену погашения, курсовую цену и расчетную цену.

Номинальная цена — эта та величина в денежных единицах, кото­рая обозначена на облигации. Как правило, облигации выпускаются с достаточно высоким номиналом. Например, в США чаще всего вы­пускаются облигации с номиналом 1 000 долл.

Эмиссионная цена облигации — это та цена, по которой происходит продажа облигаций их первым владельцам. Эмиссионная цена может быть равна, меньше или больше номинала. Это зависит от типа обли­гаций и условий эмиссии.

Цена погашения — это та цена, которая выплачивается владельцам облигаций по окончании срока займа. В большинстве выпусков цена погашения равна номинальной цене, однако она может и отличаться от номинала.

Курсовая цена — это цена, по которой облигации продаются на вто­ричном рынке. Если каждая облигация имеет строго определенную номинальную цену, цену погашения и эмиссионную цену, уровень ко­торых зафиксирован при выпуске займа, то курсовая цена претерпе­вает значительные изменения в течение срока жизни облигации — она колеблется вокруг теоретической (или внутренней, или расчетной) стоимости (или цены) облигации.

Общий подход к определению теоретической стоимости любой ценной бумаги заключается в следующем: чтобы определить, сколько должна стоить ценная бумага в данный момент времени, необходимо найти приведенную стоимость всех доходов, которые получит инвес­тор за время владения ценной бумагой. Приведенная (текущая) сто­имость денег определяется по формуле:

, (7.1)

где FV— будущая стоимость денег (future value);

PV— настоящая или текущая стоимость денег (present value);

R —- ставка дисконтирования (discount rate);

N — число лет.

Рассмотрим, какова специфика применения этого общего подхо­да к определению стоимости конкретных видов облигаций.

В зависимости от способа выплаты процентного дохода можно вы­делить два типа облигаций: а) облигации с периодической выплатой процентного дохода или купонные облигации; б) бескупонные (или дисконтные) облигации, доход по которым образуется за счет разни­цы между ценой погашения облигации и эмиссионной ценой и вып­лачивается при погашении облигации.

Рассмотрим сначала облигацию с периодической выплатой про­центного дохода.

Пример 7.1.

Продается облигация номиналом 1 000 руб. Процентная (купон­ная) ставка составляет 15 % годовых. Выплата процентов произво­дится 1 раз в год. До погашения облигации остается ровно 5 лет. Тре­буемая норма прибыли (доходность) на инвестиции с учетом риска, соответствующего данному типу облигаций, составляет 20 %. Опре­делить расчетную курсовую цену облигации.

Решение

В конце каждого года держатель облигации получит процентный до­ход в размере 150 руб., а в конце 5-го года — еще и сумму, равную но­миналу облигации, т.е. 1 000 руб. Определим дисконтированные (при­веденные) стоимости доходов дяя каждого года и найдем их сумму.

Приведенная стоимость платежей составит (см. формулу 7.1):

1-й год (руб.);

2-й год (руб.)

3-йгод (руб.)

4-й год (руб.)

5-й год (руб.)

Таким образа, искомая цена облигации будет равна:

125 + 104,17 + 86,80 + 72,34 + 462,16 = 850,47 (руб.).

Часто цену облигации выражают в процентном отношении к ее номиналу. Пришительно к приведенному примеру цена облигации составляет 85,056 от номинала.

Формула для определения стоимости облигации может быть пред­ставлена в виде:

или

, (7.2)

где Р— цена облигации;

D — процентный (купонный) доход в денежных единицах;

R — требуема норма прибыли (ставка дисконтирования).

Если обозначить: , тогда выражение (7.2) примет вид:

(7.3)

Сумма: а₁ + a₁q + a₁q²+ ... + a₁q^n-1 представляет собой сумму пер­вых п членов геометрической прогрессии и может быть определена по формуле:

. (7.4)

Подставляя в эту формулу и , имеем:

. (7.5)

После преобразований получаем:

. (7.6)

Следовательно, формула для определения стоимости облигации принимает вид:

. (7.7)

Для приведенного выше примера 7.1 цена облигации, вычислен­ная по формуле (7.7), составит:

(руб.)

Мы получили тот же результат, что и ранее.

Заметим, что приведенные выше расчеты справедливы, если став­ка дисконтирования (требуемая норма прибыли) остается неизмен­ной в течение рассматриваемого периода (срока действия облигации). В действительности ставка может изменяться.

В этом случае для определения приведенной стоимости облигаций требуется найти продисконтированные потоки доходов для каждого года, используя следующую формулу:

, (7.8)

где D_pi — приведенная стоимость дохода i-го года;

d_i — доход i-го года;

R₁, R₂, …, R_i — ставка дисконтирования для 1-го, 2-го,..., i-го года.

Пример 7.2.

По облигации номиналом 1 000 руб. выплачивается 15 % годовых. Выплата процентов производится 1 раз в год. До погашения облига­ции остается 5 лет. Требуемая норма прибыли в течение первых 3 лет — 20 %, 4-й год — 15 %, 5-й год — 10 %. Определить курсовую цену облигации.

Решение

Процентный доход каждого года и сумму погашения облигации необходимо продисконтировать по переменной ставке дисконтиро­вания. Определим дисконтированные стоимости для платежей каж­дого года:

1-й год (руб.);

2-й год (руб.)

3-йгод (руб.)

4-йгод (руб.)

5-йгод (руб.)

Следовательно, цена облигации составит:

Р= 125 +104,17 +-86,80 + 75,48 + 526,09 = 917,54 (руб.).

Мы видим, что стоимость облигации выше, чем в примере 7.1, так как ставка дисконтирования в 4-м и 5-м годах ниже, чем в первые 3 года.

Процентный доход по облигациям может выплачиваться не один, а несколько раз в год, тогда формулы (7.2) и (7.7) будут иметь следую­щий вид:

(7.9)

или

, (7.10)

где т — число выплат процентного дохода в течение года.

Пример 7.3.

Номинал облигации 1 000 руб. Процентная ставка 15 % годовых. Выплата процентов производится 2 раза в год. До погашения облига­ции остается 5 лет. Определить курсовую цену облигации, если требу­емая норма прибыли составляет 20 % годовых.

Решение

Если мы сравним стоимость облигации со стоимостью, получен­ной в примере 1, то увидим, что в случае выплаты дохода 2 раза в год при одной и той же норме дисконтирования, стоимость облигации ниже, чем при выплате дохода 1 раз в год.

До сих пор мы рассматривали случаи, когда до погашения облига­ции остается целое число лет или купонных периодов. Однако обли­гации продаются и покупаются в любой момент времени (в начале, середине и в конце купонного периода). Допустим, облигация, о ко­торой шла речь в примере 1, продается не за 5 лет до погашения, а за 4 года и 300 дней. до срока погашения. Покупатель получит годовой процентный доход по этой облигации (при условии выплаты процен­тов 1 раз в год) через 300 дней после покупки облигации. Между тем, в течение 65 дней облигация находилась в руках продавца, которому по праву принадлежит процентный доход за этот период, в то время как покупателю причитается доход только за 300 дней. Процентный доход покупателя и продавца за время Т определяется по формуле:

, (7.11)

где D — процентный доход за год или купонный период;

Т— время, в течение которого облигация находилась в руках про­давца или покупателя (в днях);

D_T — процентный доход за время Т.

В нашем примере процентный доход покупателя составит:

(руб.)

Процентный доход продавца будет равен:

(руб.)

Поскольку процентный доход в размере 26,71 руб., принадлежа­щий продавцу получит покупатель облигации при оплате очередного купона, то цена облигации должна быть увеличена таким образом, чтобы продавец не понес ущерба, В рассматриваемом нами случае цена (цена, вычисленная в примере 7. 1) должна быть увеличена на 26,71 руб. и составить 877,18 руб. (850,47 + 26,71).

Однако это лишь приблизительный результат, так как цена в раз­мере 850,47 руб. была получена нами при дисконтировании доходов ровно за 5 лет. Поэтому, чтобы получить более точный результат, нуж­но продисконтиррвать ожидаемые доходы за тот период времени, ко­торый остается до погашения облигации с момента совершения сделки. Для нецелого числа лет формула приведенной стоимости имеет следующий вид:

, (7.12)

где ;

n — целое число лет, включая нецелый год;

Т— число дней до выплаты первого купона.

Определим цену облигации для нашего примера:

(руб.)

Выше речь шла об облигациях с постоянным купоном; Однако ку­понные облигации могут быть как с постоянной, так и переменной купонной ставкой. Последние характеризуются тем, что величина про­центного дохода изменяется в зависимости от изменения ситуации на финансовом рынке. Примерами таких облигаций являются обли­гации федерального займа с переменным купоном (ОФЗ-ПК) и об­лигации государственного сберегательного займа (ОГСЗ). Стоимость таких облигаций определяется по формуле:

, (7.13)

где D₁, D₂ , ..., D_n – процентный доход i-го периода (I = 1, 2, ..., n);

R₁, R₂, ..., R_n — требуемая норма прибыли (ставка дисконтирова­ния) i-го периода.

Задача заключается в том, чтобы оценить величину процентных выплат и требуемую норму прибыли в разные периоды.

Пример 7.4.

Номинал облигации 1 000 руб. До погашения остается 3 года. Про­центный доход выплачивается 2 раза в год. По первому купону вып­лачивается 20 % годовых. Определить курсовую цену облигации.

Изучая ситуацию на финансовом рынке, инвестор пришел к вы­воду, что купонная ставка по облигации будет снижаться: 1-й год — 20 % годовых, 2-й год — 18 %, 3-й год — 15 %. Будет снижаться и требуемая норма прибыли по данному типу облигаций: 1-й год — 20 %, 2-й год — 19 %, 3-й год — 16 %. Исходя из этих условий, имеем:

Бескупонную облигацию можно представить как купонную облига­цию с нулевым размером купонных платежей. Поскольку процент­ные платежи при этом равны нулю, то формулы (7.2) и (7.7) прини­мают следующий вид:

(7.14)

Пример 7.5.

Бескупонная облигация номиналом 1 000 руб. погашается по но­миналу через 4 года. Определить курсовую цену облигации, если ставка дисконтирования составляет 14 % годовых.

(руб.)

Если данная облигация погашается через 3 года 180 дней, то ее курсовая стоимость составит:

(руб.)

Формула (7.14) может быть использована и при определении кур­совой стоимости краткосрочных ценных бумаг (со сроком действия менее 1 года) — ГКО, депозитных и сберегательных сертификатов.

Пример 7.6.

Определить цену краткосрочной облигации номиналом 1 000 руб., погашение через 180 дней. Требуемая норма прибыли по данному типу облигаций составляет 20 % годовых.

Используя формулу (7.14), имеем:

(руб.)

Однако для определения цены краткосрочных облигаций обычно используется другая формула:

. (7.15)

Применяя эту формулу, получаем:

(руб.).

Чтобы установить величину различий результатов вычислений при использовании формул (7.14) и (7.15), рассмотрим несколько приме­ров.

Пример 7.7.

Номинал облигации 1 000 руб. Требуемая норма прибыли — 10 % годовых, погашение через 180 дней.

Цена облигации, вычисленная по формуле (7.14):

(руб.)

по формуле (7.15):

(руб.).

Пример 7.8.

Номинал облигации 1 000 руб. Требуемая норма прибыли 20 % годовых, погашение облигации через 300 дней

Цена облигации при использовании формулы (7.14):

(руб.)

По формуле (7.15) имеем:

(руб.).

Пример7.9.

Номинал облигации 1000 руб. Требуемая норма прибыли 15 % го­довых, погашение облигации через 365 дней.

Цена облигации, рассчитанная по формуле (7.14):

(руб.);

по формуле (7.15):

(руб.).

Приведенные выше примеры показывают следующее:

1. Расхождение в оценке курсовой стоимости облигации при ис­пользовании разных формул тем меньше, чем ниже ставка дисконти­рования. Так, для полугодовой облигации при ставке дисконтирова­ния 20 % расхождение составляет около 0,4% цены, а при ставке дисконтирования 10 % —около 0,1 % цены.

2. При одной и той же ставке дисконтирования расхождение в цене тем меньше, чем больше срок до погашения облигации.

3. При сроке до погашения равном 1 году (365 дней) обе формулы дают один и тот же результат расчетной цены облигации.

Поскольку величины расхождений расчетной цены, полученной с использованием разных формул, являются весьма незначительными, то при вычислениях с краткосрочными инструментами обычно ис­пользуется формула (7.15).