2.3 Ядерное сглаживание

Идейно простой подход к представлению последовательности весов состоит в описании формы весовой функции посредством функции плотности со скалярным параметром , который регулирует размер и форму весов около . Эту функцию формы принято называть ядром [9].

Ядро - ограниченная, вещественная функция с единичным интегралом:

. (2.3.1)

Если не указанно иное, в формуле (2.3.1) нижним и верхним пределами будут и соответствено. Скалярный параметр называют шириной окна.

Последовательность весов для ядерных оценок определяется как [13]:

. (2.3.2)

Обычно в качестве ядерных функций рассматривают следующие функции [10]:

Равномерное ядро:

, (2.3.3)

Треугольное ядро:

, (2.3.4)

Епанечниково ядро:

, (2.3.5)

Гауссово (нормальное) ядро:

. (2.3.6)

Следует отметить, что областью определения первых трех ядер является отрезок [-1,1], в то время как последнее имеет бесконечный носитель. Следовательно, при использовании равномерного, треугольного или Епанечникова ядра оценка будет использовать информацию в ограниченном окне в окрестности , а оценка, использующая гауссово ядро, будет использовать информацию из всех наблюдений [10]. На рисунке 3 представлены графики данных ядерных функций.

Рис. 3 Графики некоторых симметричных ядерных функций

Для сглаживания в многомерном случае применяют следующие два подхода. Первый подход заключается в использовании одномерных ядер [9]:

. (2.3.7)

Второй подход заключается в использовании полунормы в [8]:

. (2.3.8)

При использовании второго подхода весовая функция преобразуется к виду:

, (2.3.9)

где - полуметрика в .

Поскольку не отрицательная величина, ядерная функция также должна быть неотрицательной. Это приводит нас к необходимости использования асимметричных ядерных функций. Для рассмотренных выше одномерных симметричных ядерных функций соответствующие одномерные асимметричные ядерные функции имеют вид:

Асимметричное равномерное ядро:

,(2.3.10)

Асимметричное треугольное ядро:

,(2.3.11)

Асимметричное Епанечниково ядро:

,(2.3.12)

Асимметричное Гауссово (нормальное) ядро:

.(2.3.13)

На рисунке 4 представлены графики данных ядерных функций.

Рис. 4 Графики некоторых асимметричных ядерных функций