5.2 Ризики інвестиційного портфеля

Сучасна портфельна теорія – це підхід до формування портфельної стратегії з використанням різноманітних статистичних показників, які розглянемо, використовуючи підхід Джона Маршалла .

1. Показник дохідності активу r(t) за базовий період t:

. 5.2.1

Послідовність цін Р перетворюємо в послідовність ефективних дохідностей за період. Для цього потрібно поділити кожне наступне спостереження на попередне і відняти одиницю.

2. Для обчислення середнього необхідно підсумувати всі значення дохідностей і поділити на кількість спостережень:

. 5.2.2

3. Обчислюючи дисперсію, треба відняти заздалегідь визначене середнє з кожного окремого значення в послідовності спостережень дохідностей. Потім кожну різницю окремо піднести до квадрату, підсумувати ці квадрати величин і поділити отриману суму на кількість спостережень мінус одиниця:

. 5.2.3

Дисперсія характеризує ступінь коливання показника, що вивчається, відносно його середньої величини.

Статистичні оцінки, які подані співвідношенням (5.2.2) та (5.2.3), називаються вибірковим середнім (мю) та вибірковою дисперсією (сигма квадрат) Введені величини не обов’язково збігаються з істиним середнім і істиною дисперсією генеральної сукупності.

4. Вибіркове стандартне (середньоквадратичне) відхилення – є квадратним коренем з дисперсії:

. 5.2.4

Отже з кожним активом портфеля пов’язані середня дохідність і дисперсія дохідності, з кожною парою дохідностей пов’язаний коефіцієнт кореляції.

5. Кореляція – це міра, призначена для оцінювання статистичної залежності між двома часовими рядами. Так, якщо два ряди рухаються в одному напрямі, то вони позитивно корельовані, якщо в протилежних – то від’ємно. Ступінь залежності даних одного ряду від другого вимірюється коефіцієнтом кореляції, котрий варіює від +1 для абсолютно позитивно корельованих рядів, що змінюються паралельно один одному, до -1 для абсолютно від’ємно корельованих рядів, що змінюються в прямо протилежних напрямках. Якщо ж кореляція двох рядів не збігається з -1 або +1, то говорять про часткову кореляцію. Якщо ж коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, то розглядувані часові ряди не корельовані.

Щоб розрізнити активи інвестиційного портфеля між собою, введемо відповідну індексацію та позначення для коефіцієнта кореляції. Позначимо дохідність активу і через r_i, середню величину r_i – через µ_і і дисперсію r_i через . Позначимо кореляцію між дохідностями активу й активу j через (po).

6. Для розрахунку коефіцієнта кореляції потрібно спочатку вирахувати коваріацію між двома дохідностями. Коваріація – це статистична міра того, на скільки дві випадкові змінні, (дохідність двох активів інвестиційного портфеля та j), залежать одна від одної. Позитивне значеня коваріації показує, що дохідність цих активів має тенденцію змінитися в один бік, негативне – що дохідності мають тенденцію компенсувати одна одну. Нульове значеня коваріації показує, що зв ’язок між дохідністю цих активів слабкий, або відсутній взагалі. Коваріація між дохідностями активу та активу j позначається через . Формула для обчислення коваріації дається співвідношенням (5.2.5), а коефіцієнт кореляції розраховується через коваріацію та стандартне відхилення за формулою (5.2.6):

Коваріація: , 5.2.5

Коефіцієнт кореляції: . 5.2.6

Отже з формули (5.2.6) випливає, що коваріація двох випадкових змінних дорівнює кореляції між ними, помноженій на добуток їх стандартних відхилень:

. 5.2.7

Позначимо дохідність портфеля через r_р, середню дохідність портфеля – через µ_р і дисперсію дохідності портфеля - через . Позначимо питому вагу активу через w_і і будемо вважати, що всього до портфеля включено n активів. Сума використовуваних часток має дорівнювати одиниці (100%). Характеристики портфеля пов ’язані з характеристиками окремих дохідностей (середніми, дисперсіями і коефіцієнтами кореляції) формулами (5.2.8), (5.2.9), (5.2.10), відповідно.

, 5.2.8

, 5.2.9

. 5.2.10

Величини r_р і µ_р є зваженими середніми відповідних характеристик для окремих активів. Дисперсія дохідності є сумою добутків, перші два співмножники – частки, другі два – стандартні відхилення, а останній співмножник – коефіцієнт кореляції. Ці добутки підраховуються для будь-якої пари та j. Усього під знаком суми має бути n² таких добутків.

Формулу (5.2.10) можна спростити, якщо врахувати дві обставини. По-перше, у разі збігу та j добуток w_і w_j перетворюється в w_і² , ( кореляція будь-якої дохідності з самою собою, за визначенням, дорівнює одиниці). По- друге, при різних та j добутки w_і w_j та w_j w_i рівні між собою і їх можна один раз включити в суму з подвоєнням коефіцієнта. Отже, можна подати формулу (5.2.10) у вигляді:

. 5.2.11

(1) (2)

За такого розкладання дисперсії чіткіше видно, що портфельний ризик складається з двох різних компонентів. Перша, помічена цифрою (1), визначає ризик, пов’язаний тільки с дисперсіями окремих дохідностей. Цей ризик називається несистемним ризиком. Друга компонента ризику, помічена цифрою (2), визначає ризик, пов ’язаний з кореляціями між дохідностями активів, включених до портфеля. Цей ризик називається системним (ринковим ризиком).

Диверсифікація приводить до усереднення системного ризику, але незважаючи на рівень диверсифікації портфеля, завжди можна очікувати, що ринкові явища впливатимуть на дохідність портфеля. Отже ринковий ризик не може бути усунутий через диверсифікацію.

Поведінка несистемного і системного ризиків висвітлює: по-перше, якщо дохідність активів не є повністю позитивно корельованою, то диверсифікація портфеля зменшує дисперсію (ризик) портфеля без адекватного зменшення середньої дохідності. По-друге, у разі добре диверсифікованого портфеля несистемним ризиком можна знехтувати, оскільки він у будь-якому разі прямує до нуля. Існує кілька поглядів щодо того, скільки потрібно мати активів у портфелі, щоб він вважався добре диверсифікованим. Умовна норма, що ґрунтується на дослідах, зводиться до 30. По-третє, оскільки системний ризик не зникає за рахунок диверсифікації, ним потрібно управляти.

Отже, збільшення диверсифікації дає змогу знизити загальний ризик портфеля за рахунок скорочення власного ризику портфеля, тоді як ринковий ризик портфеля залишається приблизно таким самим. Рис. 5.2.1 показує, як диверсифікація приводить до зниження власного ризику й усереднення ринкового ризику.

σ_p

Власний ризик

Загальний Ринковий

ризик ризик

Кількість активів у портфелі N

Рис. 5.2.1 Ризик і диверсифікація