2.2 Математическая модель

Вдохновителем к созданию модели послужил всем известный алгоритм игры в рулетку. Проигрывая, игроку необходимо ставить в следующий ход большую сумму: чтобы перекрыть убытки прошлого хода и выйти в плюс. Увеличение ставки продолжается до момента выигрыша.

Поможет ли данный подход помочь заработать на фондовой бирже?

Формализуем данный алгоритм для осуществления торговли.

Допустим, что доходность акции распределена нормально с мат. ожиданием Erи стандартным отклонением у. Реально достижимый уровень доходности в каждом периоде формируется в точке, оставляющей 25% в правом хвосте распределения. Тогда, в случае убытка, связанного со снижением курсовой стоимости акции, нам необходимо инвестировать сумму, рассчитываемую при помощи следующего уравнения:

(S0*(1-r) + I)*r(real) = S0*r(real) + I

r - величина, на которую котировка упала за период владения акцией; r(real) - «реально» достижимый уровень доходности; I - необходимая сумма инвестиций.

Таким образом, мы подбираем такой объем инвестиций, который позволит нам получить доход от котировки до ее падения и вернуть сумму самих инвестиций.

Как и в примере с рулеткой, в случае повторного падения котировки мы продолжаем инвестировать в актив, только уже в большем количестве.

Очевидно, что для реализации стратегии начальный объем инвестиций должен быть значительно ниже суммы общей ликвидности, доступной инвестору.

Применим стратегию к реальным котировкам. Первоначальная инвестиция составит 10 000 рублей. Общий объем ликвидности превышает сумму первоначальных инвестиций в 10 раз и равняется 100 000.

Торгуем акциями в период с начала 2007 года по конец 1 квартала 2016 года.

Применение стратегии для акций Сбербанка принесло бы инвестору доход в сумме 70,85% (без учета транзакционных издержек и возможность инвестировать ликвидность под безрисковую ставку). При этом стратегия «купи - держи» показала результат 30,05%.

Применение стратегии для акций Лукойла так же привело к улучшению результата: 48,48% доходности против 34,95%.

Представим результат графически:

Рис.31Математическая модель для акций Сбербанка

Рис.32Математическая модель для акций Лукойла

Ряд 1 показывает доход от реализации стратегии (в рублях; нарастающим итогом с начала 2007 года). Ряд номер 1 построен по левой вертикальной оси. Ряд два построен по правой вертикальной оси и показывает динамику котировки акции.

Действительно ли все так гладко и стратегия позволяет получать превосходный доход при умеренном уровне риска? Ответим на этот вопрос с помощью моделирования.

Смоделируем динамику котировки акции. Первоначально ее цена составляет 100. В дальнейшем акция растет с доходностью, распределенной нормально с нулевым мат. ожиданием и стандартным отклонением 1%. Реализация стратегии происходит на промежутке времени в 10 дней. Допустим, первоначальная сумма наших инвестиций равняется 10 000. А общий объем ликвидности составляет всего 15 000. В результате генерации динамики котировки, получим следующее распределение наших доходов:

Рис.33Математическая модель (ликвидность = 150% суммы начальных инвестиций)

Мат. ожидание от стратегии совпало с мат. ожиданием доходности котировки и составило 0. Быть может дело в недостаточности буфера ликвидности? Смоделируем еще два случая:

Рис.34Математическая модель (ликвидность = 1000% суммы начальных инвестиций)

Рис.35Математическая модель (ликвидность = 10000% суммы начальных инвестиций)

С увеличением буфера ликвидности, медиана неуклонна росла. При этом мат. ожидание продолжало сохраняться на уровне нуля.

Проведя данное моделирование, можно сделать вывод, что реализация стратегии способна лишь изменить профиль доходности инвестора, но не может дать ему результат выше рыночного.

Попробуем перекрыть убытки от стратегии с помощью опциона пут. В результате моделирования получили следующий результат:

Рис.36Математическая модель (ликвидность = 10000% суммы начальных инвестиций + хеджирование с помощью опциона пут)

Изолируя риск существенных убытков, мы вернулись к стандартному нормальному распределению, соответствующему распределению доходности котировки. Возможность получения сверх - рыночного уровня доходности появляется только в случае недооцененности опционов.

Перейдем, наконец, к одному из самых распространенных способов получения дохода на рынке ценных бумаг: методу портфельных инвестиций.