Математична модель клієнта

Введемо позначення:

А - величина активу клієнта;

- імовірність страхового випадку;

- питомий страховий внесок (плата страховій компанії за кожну одиницю застрахованого майна);

- питома страхова винагорода (відшкодування страховою компанією, яке припадає на кожну одиницю застрахованого активу).

Додатково позначимо через

х - величину страхованого активу (її обирає клієнт страхової компанії):

- функцію за Нейманом-Моргенштерном клієнта, яка визначена на залишку активу після страхового випадку.

Якщо трапиться страховий випадок, то страхова компанія відшкодовує клієнтові величину . Отже, якщо клієнт застрахував х одиниць активу, трапився страховий випадок, то у клієнта залишається . За решту компанія відповідальності не несе.

Якщо ж страхового випадку не буде, то залишок активу становитиме величину А - .

Корисність у разі страхового випадку становить величину , в протилежному випадку - . Сподівана корисність за обсягу страхування х дорівнюватиме величині Поведінка клієнта описуватиметься моделлю:

(4.2)

Гранична сподівана корисність та сподівання граничної корисності

Припустимо, обсяг страхування збільшився на одиницю. Тоді у разі страхового випадку відшкодування зросте на величину q, а корисність - на величину MU(qx) · q, де MU - гранична корисність залишку активу. Якщо страхового випадку не буде, то втрата клієнта збільшиться на величину r, а корисність - на величину MU(А -rх)· r. Останню величи-ну можна інтерпретувати як граничну шкоду (або зі знаком мінус), як граничну ко-рисність страхування за відсутності страхового випадку, а величину MU(qx) · q - як граничну корисність страхування за наявності страхового випадку Сподівана гра-нична корисність дорівнюватиме величині:

Водночас ця величина показує приріст сподіваної корисності внаслідок зміни (збільшення) обсягу страхування, тобто вона є й граничною сподіваною корисністю.

Отже, гранична сподівана корисність страхування збігається Із сподіваною граничною корисністю

Цей факт також негайно підтверджується відомими правилами диференціювання:

Величина є іншим записом величини , тобто граничною корисністю страхування за відсутності страхового випадку, - величина , тобто граничною корисністю страхування за наявності страхового випадку.

З припущення про монотонне зростання функції корисності випливає цікавий висновок - гранична корисність страхування - додатна величина у разі страхового випадку (коли трапляється нещастя) і відємна - за відсутності страхового випадку - на перший погляд парадоксальне твердження, але за більш детального розгляду відповідає логіці поведінки індивіда: якщо все гаразд, то гроші, витрачені на страхування, здаються марно втраченими; коли ж трапляється біда, то кожна вкладена гривня в страхування дає незрівнянно більшу користь.