Аналіз рівноваги

Рівняння (6) допускає таке читання в стані рівноваги гранична корисність страху-вання за наявності страхового випадку, перемножена на його імовірність, збігається з граничною шкодою від страхування за відсутності страхового випадку, перемно-женою на його імовірність.

Отже, клієнт балансує граничну шкоду та граничну корисність дня визначення найбільш привабливого для себе обсягу страхування, причому, враховуючи імовірність страхового випадку.

Нерівність (3) можна переписати таким чином:

тобто, якщо гранична шкода першої одиниці страхування за відсутності страхо-вого випадку, перемножена на імовірність недоторканості активу, перевищує граничну корисність останньої одиниці активу за умови, що страховий випадок трапився, перемножену на його імовірність, то клієнт не схильний до страху-вання в будь-яких обсягах.

Аналогічну інтерпретацію можна дати й для нерівності (4), коли переписати її у вигляді:

маючи на увазі, що величина характеризує граничну шкоду від страхуван-ня за максимально можливого його обсягу за умови недоторканості активу, a u(qA)q - граничну корисність максимально можливого обсягу страхування за умови, коли трап-ляється страховий випадок.

Звернемось ще раз до рівняння рівноваги (6), для того щоб помітити цікаву де-таль: оскільки здебільшого імовірність недоторканості активу істотно більша від імовірності страхового випадку , то гранична корисність страхування за умови страхового випадку повинна бути набагато більшою від граничної шкоди від страхування за умови, коли страховий випадок не трапляється.

Окремий випадок теореми про рівновагу

Якщо страхова компанія повністю відшкодовує актив клієнтові у разі страхового випадку, тобто коли , то маємо простий, але важливий наслідок з теореми про рівновагу.

Якщо , то

причому

Імовірність страхового випадку та реакція клієнта страхової компанії

Розглянемо вплив імовірності страхового випадку на обсяг страхування клієнта. Дослідимо простий випадок, коли q = 1 (хоча всі висновки зберігаються й для загального випадку).

Із несхильності до ризику особи, яка страхується, а звідси - з увігнутості його функції корисності випливає:

(коли ).

Звідси

Характер поведінки клієнта страхової компанії залежатиме від того, в якому інтересі

чи

перебуватиме величина - .

Неважко помітити, що за фіксованого питомого платежу спадає у разі/ зростання , причому та .

Отже, за достатньої близькості імовірності страхового випадку до одиниці величина буде малою й потраплятиме в інтервал (10), а отже, згідно з (7), клієнт страхуватиме свій актив повністю. Якщо ж дещо зменшуватиметься, то величина збільшуватиметься, поки не потрапить до інтервалу (11), а тоді, згідно з (8), клієнт не буде страхувати актив повністю. За подальшою зменшення імовірності стра-хового випадку величина ще збільшиться й потрапить до інтервалу (12). У цьому разі, згідно з (6), клієнт вже не буде клієнтом страхової компанії!

Спеціальний вигляд функції корисності та формулювання моделі клієнта стра-хової компанії як задачі лінійного програмування

Запроваджено спеціальний вигляд функції корисності для особи, несхильної до ризику:

(13)

та схильної до ризику:

(14)

(Функція корисності (13) зображена на Рис. 26 )

Функція (13) - увігнута, а (14) - опукла.

Модель клієнта з функцією корисності (13) матиме вигляд:

Задачу (15) можна записати за допомогою еквівалентної задачі лінійною програмування:

(Під стрілкою вказуються для більшої виразності змінні, за якими здійснюється оптимізація.)

Для якісного та чисельного аналізу моделі клієнта у формулі (16) можна застосо-вувати відомі методи лінійного програмування.