logo search
Моделювання поведінки клієнта страхової компанії

Таблична модель поведінки клієнта страхової компанії

Припущення

Клієнт страхової компанії є власником певного активу (майно, внесок у банк, людський капітал), величина якого відображається у грошовій формі. Величину активу будемо позначати через А.

Можливий страховий випадок, коли клієнт втрачає актив або його частку. Це може бути у випадку стихійного лиха, пограбування, банкрутства фінансової установи, якій клієнт довірив свій актив, несприятливої конюнктури ринку (чорні вівторки та пятниці), втрати працездатності внаслідок виробничої або побутової травми. Будемо розглядати спрощений випадок, коли актив або повністю недоторканий, або повністю вилучений.

Припускаємо, що клієнт може оцінити імовірність страхового випадку. Позначатимемо її через .

Для того, щоб бути більш певним у своєму майбутньому, власник активу може звернутись до страхової компанії і застрахувати актив або його частку.

Компанія пропонує такі умови страхування:

1. клієнт сплачує компанії страховий внесок, пропорційний частці страхового активу. Позначимо через питомий страховий внесок або ціну страхування, тобто страховий внесок, що припадає на одиницю страхового активу;

2. якщо трапляється страховий випадок, компанія сплачує клієнту страхову винагороду, яка теж пропорційна частці застрахованого активу. Через будемо позначати питому страхову винагороду, тобто страхову винагороду, що припадає на одиницю страхованого активу.

Аналіз взаємодії страхової компанії та її клієнтів буде здійснений за таких припущень щодо їх поведінки:

І. Клієнт залежно від питомого страхового внеску та питомої страхової винагороди обирає частку страхового активу;

ІІ. Клієнт є несхильним до ризику, тобто для нього більш привабливим є отримання гарантованого сподіваного виграшу, ніж участь у ризикованій акції, яка має такий самий сподіваний ефект. Припущення можна перефразувати в більш звичайних термінах для страхової справи. Наприклад, власник будинку вартістю 400 000 гривень може його втратити внаслідок стихійного лиха, імовірність якого становить 0,0001 на рік. Сподіваний програш становить у цьому випадку 400 000 х 0,0001 = 40. Проте власник будинку залюбки буде сплачувати 100, а то й 200 гривень щороку страховій компанії, аби вона йому гарантувала відшкодування вартості будинку.

ІІІ. Моделлю системи цінностей людини, яка не байдужа до ризику, є сподівана корисність. Чим більша сподівана корисність для людини, тим більш комфортно вона себе почуває.

ІV. Також будемо припускати, що функція корисності за Нейманом-Моргенштерном клієнта є монотонно зростаючою, тобто чим більший актив має особа, тим краще для неї.

Числовий приклад.

Величина активу становить 20 000 гривень. Власник активу - особа несхильна до ризику. Гранична корисність для власника активу задається формулою:

(1)

де інтервали зміни величини активу вказані в тисячах.

Імовірність страхового випадку =0,0001. Питомий страховий платіж (надалі будемо називати його просто страховим платежем) =0,001, питома страхова винагорода =1. Іншими словами, кожна застрахована 1 000 відшкодовується повністю у разі страхового випадку, але для цього клієнт повинен сплатити компанії 1 гривню.

Чи буде власник активу страхуватись взагалі, але якщо буде то яким обсягом?

Насамперед кілька зауважень щодо системи цінностей потенційного клієнта. Найбільш вагомою для нього буде втрата останніх одиниць його активу (кожна одиниця серед останніх пяти важить 20 ютилів). Далі вагомість втрат зменшується. В таблиці 1 наведена корисність багатства потенційного клієнта.

Табл.1. Корисність залишку активу після страхового випадку (згідно з граничною корисністю(1))

Табл.2. Обсяг страхування та сподівана корисність (=0,0001, =0,001 )

Величина активу (х) (в тис.)

Гранична корисність (МU)

Корисність (u(x))

Обсяг страхування

Сподівана корисність

0

20

0

0

179,9820

1

20

20

1

179,9830

2

20

40

2

179,9840

3

20

60

3

179,9850

4

20

80

4

179,9860

5

20

100

5

179,9870

6

10

110

6

179,9870

7

10

120

7

179,9870

8

10

130

8

179,9870

9

10

140

9

179,9870

10

10

150

10

179,9870

11

5

155

11

179,9865

12

5

160

12

179,9860

13

5

165

13

179,9855

14

5

170

14

179,9850

15

5

175

15

179,9845

16

1

176

16

179,9836

17

1

177

17

179,9827

18

1

178

18

179,9818

19

1

179

19

179,9809

20

1

180

20

179,9800

Очевидно, що функція корисності клієнта є увігнутою, тобто він не схильний до ризику. Для нього найбільш вагомими є останні одиниці втрати активу після страхового випадку.

Порівняємо добробут клієнта за відсутності страхування та у випадку, коли він страхує перші одиниці активу.

Якщо клієнт не страхується зовсім, то він матиме, як і раніше, актив обсягом 20 000 за відсутності страхового випадку, та нічого, якщо страховий випадок трапиться. З точки зору корисності, він матиме 180 ютилів (див. табл.1) з імовірністю 0,9999 та нічого з імовірністю 0,0001. Сподівана корисність становитиме:

0,9999 х 180 + 0,0001 х 0 = 179,982.

Якщо клієнт страхує 4 000, то у разі відсутності страхового випадку то у нього залишається:

20 000 - 4 000 х 0,001 = 19,996,

а в разі страхового випадку - 4 000 гривень, корисність першої суми згідно з табл.1., становитиме 179,996, другої - 80. Звідси, сподівана корисність дорівнюватиме

179,996 х 0,9999 + 80 х 0,0001 = 179,986.

Таким чином, для особи з функцією корисності, яка відображена в таблиці 1 та на рис.1 страхування обсягом 4 000 є більш привабливим порівняно з випадком коли особа взагалі не страхується.

В табл.2 та на рис.2 відображені результати аналогічних розрахунків для всіх можливих варіантів страхування з дискретністю 1 000. ,

Здійснені розрахунки показують, що діапазон від 5 000 до 10 000 містить найпривабливіший обсяг страхування для клієнта.

Закон спадаючої граничної сподіваної корисності

Рис.5. свідчить про увігнутість функції сподіваної корисності для клієнта незалежно від обсягу страхування. Цей факт можна перефразувати в термінах граничної сподіваної корисності. Дано таке означення:

Граничною сподіваною корисністю називається приріст сподіваної корисності у разі збільшення обсягу страхування на одиницю (малу).

Увігнутість функції сподіваної корисності свідчить про дію в даному випадку закону спадаючої граничної корисності. В табл.3 та на рис.6. відображена дія цього закону.

Табл.3. Гранична сподівана корисність

Обсяг страхування

Гранична сподівана корисність

0

0,0010

1

0,0010

2

0,0010

3

0,0010

4

0,0010

5

0,0010

6

0,0000

7

0,0000

8

0,0000

9

0,0000

10

0,0000

11

-0,0005

12

-0,0005

13

-0,0005

14

-0,0005

15

-0,0005

16

-0,0009

17

-0,0009

18

-0,0009

19

-0,0009

20

-0,0009

Закон спадаючої граничної сподіваної корисності розширює дію закону спадаючої граничної корисності. У випадку розглянутої схеми страхування сформульований закон означає, що кожна додаткова одиниця застрахованого активу приносить його власнику все менший приріст його сподіваної корисності.

Помічена властивість може використовуватись для раціоналізації розрахунків: як тільки гранична сподівана корисність стає відємною, розрахунки далі можна не продовжувати.