Наращение по сложной процентной ставке

Если ссуда выдана на некоторый срок и проценты начисляются один раз в конце этого срока, то простые и сложные проценты не различаются, наращенная ссуда будет одной и той же. Эффект сложных процентов возникает тогда, когда срок ссуды разбит на несколько интервалов, в конце каждого интервала начисляются проценты и присоединяются к сумме, накопленной на начало интервала.

Простые проценты начисляются на начальную величину ссуды, сложные – на ссуду с наращением на момент начисления процентов.

Мы ввели обозначение сложной процентной савки как r_c. Наращение за 1 и 2 года рассчитывается:

Наращение за лет по сложной процентной ставке осуществляется по формуле:

Часто срок для начисления процентов не является целым числом, в связи с этим при начислении процентов на практике можно воспользоваться двумя методами расчета наращенной суммы: общим методом, описанным в разделе «Наращение по простой процентной ставке», и смешенным методом, применяемым только в случае использования в наращении сложной процентной ставки. Смешанный метод предполагает начисление процентов за целое число периодов (лет) по формуле сложных процентов и по формуле простых процентов за дробную часть периода:

,

Где a + b = n, a – целое число периодов; – дробная часть периода.

Используя коэффициенты наращения по простым и сложным процентным ставкам, можно определить время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в N раз. Чтобы первоначальная сумма P увеличилась в N pаз, необходимо, чтобы коэффициенты наращения были равны величине N, т.е.

- для простых процентов ,

откуда ;

- для сложных процентов ,

откуда .

Пример 1.

Какой величины достигнет долг, равный 10 млн. руб., через 5 лет при росте по ставке сложного процента 15% годовых.

Решение.

Пример 2.

В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.

Решение

Общий метод:

Смешанный метод:

Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят

_,

а по смешанному методу

Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Клиент внес в банк 3,0 млн. руб. под 9,5 % годовых. Через 2 года и 270 дней он изъял вклад. Определить полученную клиентом сумму при использовании банком сложных процентов и смешанного метода начисления процентов.

Задача 2. Определить время, необходимое для увеличения первоначального капитала в 3 раза, используя простую и сложную процентные ставки, равные 8% годовых.

Задача 3 . Инвестор получил кредит в банке в размере 250 млн. руб. со сроком погашения через 2 года и 9 месяцев (2 года и 270 дней), под 9,5% годовых. Определить полученную им сумму при использовании банком сложных процентов, рассчитанных общим и смешанным методами. При расчете банк считает продолжительность года 360 дней.