Номинальная и эффективная ставка

Метод сложных процентов используется для начисления процентных денег по долгосрочным вкладам (продолжительностью более года).

Напомню, что смысл этого метода выражается фразой «начисление процентов на проценты». Это значит, что задолженность заёмщика в предыдущий момент времени служит основой для начисления процентов в следующий момент. При этом размер задолженности увеличивается в геометрической прогрессии (или в соответствии с показательной функцией, если считать время непрерывным). Например, если вкладчик положил в банк 100 тысяч рублей под сложную процентную ставку r_c = 6%, то через, скажем, пять месяцев на его счету будет сумма

В современных условиях проценты капитализируются не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневные начисления процентов. В контрактах фиксируется не ставка за период, а годовая ставка в процентах и указывается период начисления процентов.

Пусть годовая ставка равна j, а число периодов начисления в году равно m. Проценты начисляют по ставке j/m. Ставку j называют номинальной.

Каждый раз при начислении процентов сумма на счету вкладчика будет увеличиваться в

Формулу наращения можно представить следующим образом:

Эффективная ставка - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m:

Откуда

При m > 1 эффективная ставка (r_c) больше номинальной (j), при m = 1, r_c = j.

Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку r_c не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость и в решении обратной задачи - в определении j по заданным значениям r_c и m. Находим:

По аналогии с номинальной и эффективной ставкой процентов вводится понятие номинальной и эффективной учетной ставки

где f – номинальная годовая учетная ставка.

Эффективная учетная ставка характеризует результат дисконтирования за год. Она находится из равенства

откуда

Для одних и тех же условий операций эффективная учетная ставка меньше номинальной.

При использовании сложной учетной ставки:

или

Пример 1.

Какова эффективная ставка, если номинальная ставка равна 25 % при помесячном начислении процентов?

Решение.

Для сторон в сделке безразлично: применить ставку 25 % (при помесячном начислении) или годовую ставку 28,0732 %.

Пример 2.

Инвестор только что заплатил 100 долл. за опцион на покупку собственности за 10 000 долл. по истечении 2-х лет. Уже выплаченные за опцион 100 долл. не будут включены в цену покупки. Какую сумму сегодня должен положить в банк инвестор при выплате 10% годовых при ежемесячном накоплении с тем, чтобы через 2 года остаток составил 10 000 долл.? Решение.

Пример 3.

Вкладчик положил на счёт в банке сумму в 200 тысяч рублей. Если номинальная процентная ставка по вкладу равна 8%, а проценты капитализируются раз в квартал (банк, разумеется, использует сложные проценты), то через полгода (то есть после двух начислений процентов) сумма на счету вкладчика будет составлять

Решение.

Пример 4.

Финансовый документ на сумму 5 млн. руб., срок платежа, по которому наступает через пять лет, продан с дисконтом по сложной учетной ставке 15 % годовых, определим сумму, полученную при поквартальном дисконтировании по номинальной учетной ставке 15 % (f=0,15, m=4).

Решение.

Эффективная учетная ставка составит

или 14,177%

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Кредитное обязательство 2,0 млн. руб., со сроком погашения через 4 года, было учтено в банке по учетной ставке 10% годовых, начисление процентов - по полугодиям. Определить современную величину обязательства и эффективную ставку.

Задача 2. Кредит в размере 800 млн. руб. выдан на 3 года. По условиям договора начисление процентов производится по сложной учетной ставке 15% годовых. В договор внесены изменения, предусматривающие ежемесячное начисление процентов. Определить, насколько увеличится сумма процентов по кредиту к концу срока при реализации изменений по договору.