Цена американского опциона
Так как американский опцион может быть исполнен в любое время между и , мы определим его как последовательность неотрицательных случайных величин (выплат), адаптированную к . Случайная величина -- это немедленная прибыль владельца опциона, получаемая от исполнения опциона в момент времени . В случае американского call-опциона на акции стоимостью с ценой исполнения функция выплат ; в случае put-опциона -- .
Справедливую цену опциона , ассоциированную с выплатами можно получить, используя метод индукции в обратном времени, начиная с момента .
Действительно, стоимость опциона в момент окончания его действия, очевидно, совпадает с . По какой цене опцион следует продавать в момент ?
Если держатель опциона исполняет его в этот момент времент, он получает . Если он откладывает его исполнение до момента , то выпустивший опцион должен быть готов заплатить ему . Поэтому в момент времени эмитент должен иметь возможность заработать капитал, представляющий собой максимум из и суммой, которую необходимо иметь в момент времени , чтобы получить в момент .
Другими словами, чтобы быть готовым к любым вариантам развития событий в будущем, в момент эмитент должен получить от продажи опциона сумму, равную максимуму из и значения в момент допустимой стратегии, дающей в момент выплату т.е. с .
Таким образом, в момент имеет смысл оценить опцион как
По индукции определим цену американского опциона для как
Если предположить, что доходность безрисковой бумаги за один период постоянна и равна , то и
Пусть --дисконтированная цена американского опциона.
Теорема 15 Последовательность является -супермартингалом. Это наименьший супермартингал, мажорирующий последовательность .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства
следует, что -- супермартингал, мажорирующий .
Действительно, по постороению
или
что доказывает супермартингальность .
Аналогично, умножая на , получаем мажорирующее свойство :
Пусть теперь -- некоторый супермартингал, который также мажорирует Тогда в конечный момент времени
Покажем при помощи индукции в обратном времени, что
| (37) |
Дествительно, (39) выполнено для . Пусть для некоторого . Тогда, с одной стороны
С другой стороны по предположения. Поэтому
Индукция в обратном времени доказывает, что мажорирует для всех .
- Е.А. Нурминский, л.Т. Ащепков, е.В. Трифонов Математические основы теории финансовых рынков
- Основные инструменты
- Облигации
- Контракты
- Опционы
- Основные измерители финансовых рынков
- Доходность
- Дисконтирование и приведенная стоимость
- Риск в финансовых моделях
- Статическая теория ценообразования (capm)
- Линия рынка ценных бумаг
- Общая функция полезности
- Аддитивность приведенной стоимости
- Оценка управленческих решений
- Арбитражная теория ценообразования
- Оптимальное инвестирование
- Статическая оптимизация портфеля
- Основные понятия и обозначения
- Инструменты или активы
- Торговые стратегии
- Мартингалы и возможности арбитража
- Совершенные рынки и цены опционов
- Цены и хеджирование опционов
- Цены и хеджирование европейского опциона
- Цена американского опциона
- Биномиальная модель. Мартингализирующая мера
- Биномиальная модель с точки зрения лп
- Основные обозначения и постановка задачи
- Биномиальный случай
- Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.