Общая функция полезности
К тем же соотношениям, что и в предыдущем разделе, приводят рассуждения для произвольной квадратичной функции полезности 7инвестора.
Чтобы показать это, рассмотрим типичного инвестора с портфелем рискованных активов и банковским счетом ( безрисковым активом ). Пусть в -ый рискованный актив вложен капитал и его ( случайная ) доходность составляет . Стоимость банковского счета обозначим через , а его доходность ( гарантированную ) -- через .
В этих условиях текущая суммарная стоимость активов инвестора составляет , а его будущая стоимость представляет собой . Предположим, что инвестор оценивает возможные последствия своих действий с помощью функции полезности, квадратично зависящей от величины капитала:
| (11) |
Предполагается, что инвестор заинтересован в максимизации , т.е. вариант считается предпочтительней , если . Мы предполагаем специальную форму квадратичной зависимости (11), учитывая то, что
функция должна быть вогнутой, для математической корректности задачи оптимизации,
на результат сравнения и не сказываются прибавление к функции полезности постоянного слагаемого или ее масштабирование с помощью некоторой положительной константы.
При многократном повторенни ситуации инвестор может быть заинтересован в максимизации средней полезности, получаемой от будущих доходов:
Обсуждение этого сведения можно найти в Приложении.
Для простоты рассмотрим сначала случай одного рискового актива и одного инвестора. Считая начальный капитал инвестора заданным, оптимальное поведение инвестора определим как решение задачи
где и -- его капитал в акциях и банковском счете, соответственно, -- капитал инвестора в следующий момент времени. Доходность рискового актива предполагается случайной величиной, доходность безрискового банковского актива неслучайна и известна заранее.
Для того, чтобы решить эту задачу, необходимо составить функцию Лагранжа
где -- двойственная переменная, соответствующая бюджетному ограничению, и приравнять ее производные нулю:
или
| (12) |
Так как , то (12) сводится к
Легко проверить, что
Следовательно
или
| (13) |
Соотношение (13) справедливо для всех участников рынка, если предполагать их одинаково мотивированными, одинаково информированными и находящимися в однаковых экономических условиях. Поэтому, суммируя (13) по участникам, каждый из которых ассоциируется со своим , получаем
где и сумма берется по всем участникам. Стоимость всего рыночного запаса акций может быть представлена как стоимость всего рынка акций в предшествующий момент времени, увеличенная в соответствии с рыночной доходностью :
где -- переобозначение для . В результате получаем
- Е.А. Нурминский, л.Т. Ащепков, е.В. Трифонов Математические основы теории финансовых рынков
- Основные инструменты
- Облигации
- Контракты
- Опционы
- Основные измерители финансовых рынков
- Доходность
- Дисконтирование и приведенная стоимость
- Риск в финансовых моделях
- Статическая теория ценообразования (capm)
- Линия рынка ценных бумаг
- Общая функция полезности
- Аддитивность приведенной стоимости
- Оценка управленческих решений
- Арбитражная теория ценообразования
- Оптимальное инвестирование
- Статическая оптимизация портфеля
- Основные понятия и обозначения
- Инструменты или активы
- Торговые стратегии
- Мартингалы и возможности арбитража
- Совершенные рынки и цены опционов
- Цены и хеджирование опционов
- Цены и хеджирование европейского опциона
- Цена американского опциона
- Биномиальная модель. Мартингализирующая мера
- Биномиальная модель с точки зрения лп
- Основные обозначения и постановка задачи
- Биномиальный случай
- Простейшее обобщение биномиальной модели: случай трех возможных состояний.