Будущая и текущая стоимость

Задача 2.1

В банк на срочный депозит внесено 100000 рублей под 12% годовых на год с простым начислением процентов. Какая сумма будет накоплена на его счету по истечении указанного срока? Какова была бы накопленная сумма вклада, если бы проценты начислялись ежемесячно и реинвестировались в сумму вклада?

Рекомендации по решению задачи:

Если доходность инструмента детерминирована, можно оценить будущую стоимость S вложений в настоящий момент средств P, другими словами: определить, сколько будет стоить в будущем рубль, вложенный сегодня. Преобразовав формулу относительно S, получим при простом, однократном начислении процентов:

, (4)

где i – годовая ставка процента, выражается дробью (10% = 0.1 и т. д.); n – период владения (в годах).

При сложном начислении процентов:

, (5)

где t₀ – периодичность начисления сложных процентов в году (в днях); i – годовая ставка процента; t – период владения (дней).

В том случае, когда срок вложения исчисляется годами, а периодичность начисления процентов кратна месяцу, формулу (5) можно представить в виде:

, (6)

где n – период владения (в годах); m – количество периодов начисления процентов в году.

Решение:

Используя формулу (4), определяем итоговую сумму при простом начислении процентов:

При сложном:

Ответ: При простом начислении процентов S = 112000 рублей; при сложном, ежемесячном начислении процентов S = 112682 рубля.

Задача 2.2

Платежи (финансовая рента) в размере 10 млн. рублей вносятся ежегодно под 55% годовых. Определить сумму, которая образуется на счете за 6 лет. Какова будет итоговая сумма, если платежи будут вноситься в начале каждого периода?

Рекомендации по решению задачи:

В данной задаче мы имеем дело с потоком равных периодических платежей, называемых финансовой рентой (аннуитет). В том случае, когда выплата по ренте осуществляется в конце периода (постнумерандо), наращенная сумма всех платежей с начисленными процентами S определяется по формуле:

, (7)

где R – размер постоянного периодического платежа.

Если же выплаты производятся в начале периода (пренумерандо), то расчет ведется по формуле:

. (8)

Решение:

Используя формулу (7), находим:

При условии, когда платежи вносятся в начале каждого периода:

Ответ: При условиях постнумерандо S = 233.9 млн. рублей; при условиях пренумерандо S = 362.6 млн. рублей.

Задача 2.3

Определить наращенную сумму постоянной ренты постнумерандо со сроком погашения 3 года, если платежи вносятся ежеквартально, а их годовая сумма составляет 100 млн. рублей. На вносимые платежи начисляются сложные проценты по ставке 12% годовых.

Рекомендации по решению задачи:

В данном случае платежи осуществляются несколько раз в течение года, проценты – один раз в конце года. Задача решается по формуле р-срочной ренты постнумерандо:

(9)

где р – количество раз осуществления платежа в году (по условию задачи р = 4).

Так же по условиям задачи n = 3, i = 0.12, R = 100.

Решение:

Подставляя значения аргументов в формулу (9), находим наращенную сумму S:

Ответ: S = 347.83 млн. рублей.

Задача 2.4

Для создания сберегательного фонда в конце каждого года вносится платеж в размере 10 млн. рублей. На этот платеж ежеквартально начисляются проценты по ставке 12% годовых. Определить объем сберегательного фонда через 5 лет.

Рекомендации по решению задачи:

Платежи по условию данной задачи производятся один раз в конце года. Проценты начисляются m раз в году, что заставляет говорить о ренте постнумерандо с m-разовым начислением процентов, которая рассчитывается по формуле:

(10)

Решение:

По формуле (10) находим наращенную сумму постнумерандо с m-разовым начислением процентов:

Ответ: S = 63.49 млн. рублей.

Задача 2.5

Каждые полгода на банковский счет вносится сумма, на которую ежеквартально начисляются проценты по ставке 10% годовых. Годовой размер взносов 100 млн. рублей. Какая сумма накопится на счете за 3 года?

Рекомендации по решению задачи:

В данном примере мы имеем дело с р-срочной рентой постнумерандо с m-развым начислением процентов. Наращенная сумма S этой ренты находится по формуле:

. (11)

Решение:

На основании формулы (11), производим расчет:

Ответ: S = 350 млн. рублей.

Задача 2.6

Какова текущая стоимость 300 тысяч рублей, полученных через год, если ставка дисконтирования равна 12%, при условии, что проценты начисляются ежемесячно?

Рекомендации по решению задачи:

Уровень процентной ставки в условиях равновесного рынка определяет текущую ценность будущих поступлений денежных средств или потоков платежей. Другими словами, определяется, сколько стоит сейчас один рубль, полученный в будущем. Преобразовав формулу (4) относительно P и обозначив PV = P, D = i, при простом начислении процентов получим:

. (9)

При сложном начислении процентов:

. (10)

Или:

. (11)

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо и постоянной ренты пренумерандо находится из формул (12) и (13) соответственно:

. (12)

. (13)

Решение:

Данная задача решается по формуле (11):

Ответ: Текущая стоимость 300 тысяч рублей при ставке дисконтирования 12% равна 266.24 тысячи рублей, то есть текущая стоимость одного рубля, полученного в будущем примерно равна 0.89.

Задача 2.7

В банк внесено 1.25 млн. рублей под 55% годовых на год. Какая сумма будет накоплена на его счету по истечении указанного срока?

Задача 2.8

На банковский счет внесено 3 000 долларов под 12% годовых.

Какова будет накопленная сумма вклада по истечении трех лет, если проценты начисляются ежемесячно и реинвестируются в сумму вклада?

Задача 2.9

Платежи в форме финансовой ренты размером 13.5 млн. рублей вносятся ежегодно под 44% годовых. Определить сумму, которая образуется на счете за 3 года.

Задача 2.10

Платежи в размере 100 тысяч рублей производятся в течение 5 лет под 60% годовых. Какова будет итоговая сумма, если платежи вносятся в начале каждого периода?

Задача 2.11

Определить наращенную сумму постоянной ренты постнумерандо со сроком погашения 4 года, если платежи вносятся ежемесячно, а их годовая сумма составляет 1.5 млн. рублей. На вносимые платежи начисляются сложные проценты по ставке 52% годовых.

Задача 2.12

Платежи, годовая сумма которых составляет 2.75 млн. рублей, вносятся постнумерандо в течение 5 лет под 49% годовых. Определить наращенную сумму постоянной ренты.

Задача 2.13

Для создания сберегательного фонда в конце каждого года вносится платеж в размере 100 млн. рублей. На этот платеж каждые 6 месяцев начисляются проценты по ставке 56% годовых. Определить объем сберегательного фонда через 2 года.

Задача 2.14

В конце каждого года на банковский счет вносится платеж в размере 10 000 долларов. На этот платеж ежеквартально начисляются проценты по ставке 11% годовых. Определить объем сберегательного фонда через 4 года.

Задача 2.15

Каждый квартал на банковский счет вносится сумма, на которую ежемесячно начисляются проценты по ставке 59% годовых. Годовой размер взносов 100 млн. рублей. Какая сумма накопится на счете за 2 года?

Задача 2.16

Каждые пол года на банковский счет вносится сумма, на которую ежеквартально начисляются проценты по ставке 12% годовых. Годовой размер взносов 100 тысяч Евро. Какая сумма накопится на счете за 3 года?

Задача 2. 17

Планируется в ходе финансовой операции через год получить сумму в размере 3 млн. рублей, если учесть, что ставка дисконтирования равна 62%, а проценты начисляются ежемесячно. Какова текущая стоимость полученной в будущем суммы?

Задача 2. 18

Какова текущая стоимость 120 тысяч Евро, полученных через год, если ставка дисконтирования равна 12%, при условии, что проценты начисляются ежемесячно?