2.1 Рисковая надбавка

Рассмотрим задачу определения рисковой надбавки. Пусть компания имеет однородный портфель договоров с одинаковыми страховыми суммами и вероятностями наступления страховых случаев . Компанию интересует не только среднее число случаев , но и величина возможного превышения этого значения и вероятность такого отклонения. Поскольку в основе процесса лежит биномиальный закон, интересующая нас оценка может быть получена с помощью интегральной теоремы Лапласа [5, с. 42]:

(В более общем случае, когда эта теорема неприменима, используется неравенство Чебышева.)

Пусть число договоров , - вероятность наступления страхового случая, тогда - среднее ожидаемое число случаев. Компанию интересует вероятность того, что фактическое число случаев не превысит некоторого заданного значения Если срок действия договора один год, то какова должна быть эта граница, чтобы она превышалась не чаще, чем 1 раз в 25 лет? . Какова при этом рисковая надбавка? Предположим, что в этой подотрасли страхования надбавка, в среднем, составляет 10% от рисковой премии. Оценим конкурентоспособность компании.

.

Вероятность нарушения правой границы: , тогда ; и по таблице функции Лапласа находим: абсолютная надбавка , относительная надбавка

При относительной надбавке 16,62% можно считать с надежностью 0,96 (нарушение не чаще одного раза в 25 лет), что число страховых случаев не превысит . (Округлять можно только в большую сторону)

С позиции конкурентоспособности 17% велика, а вероятность разорения (раз в 25 лет) слишком велика (по западно-европейским стандартам). Попытаемся изменить условия. Пусть мы хотим обеспечить вероятность разорения не выше 0,01 (не чаще 1 раза в 100 лет).

Здесь и . Следовательно, , т.е. надбавка увеличилась почти в 1,33 раза и достигла 22,1% - слишком много (для нашего примера),

Округляем до ближайшего целого числа: 123. Тогда .

Найдем надежность, которую может обеспечить надбавка в 10%:

; ; ; .

Итак, вероятность разорения достигла 0,145 (один раз в семь лет!), что совершенно неприемлемо.

В данном случае неприятности страховщика вызваны противоречием между относительно высокой вероятностью наступления страхового случая 0,1 и сравнительно небольшим объемом страхового портфеля п = 1000.

Проанализируем ситуацию у другого страховщика, который имеет дело с такими же рисками р = 0,1, но объем портфеля у него в 10 раз больше: .

Итак, , , , , . Если , то; ; , , т.е. , то относительная надбавка составляет 53/1000=0,053 против 0,17 - уменьшилась втрое (!). Это означает, что на каждую тысячу договоров (при одинаковой надежности) у второго страховщика отклонения будут втрое меньше. Следовательно, он может соответственно снизить надбавку, и тогда его тарифы будут ниже, чем у конкурента. Тогда конкурент с малым портфелем тоже должен снизить свои тарифы, а это резко снизит его надежность, и, скорее всего, он разорится (здесь не рассматриваются другие пути повышения надежности). Этот пример показывает, почему крупные компании выживают, а мелкие разоряются.

Пусть крупная компания () стремится обеспечить вероятность разорения не выше 0,01 (1 раз в 100 лет). Тогда , ,; относительная надбавка 70/1000=7% вполне приемлема. Это означает, что такая компания может обойтись практически без страховых резервов, в то время как ее слабый конкурент обязан создать солидный резерв из своих средств. Еще одно преимущество.

Очевидно, что для большой компании целесообразно остановиться на варианте: вероятность разорения 0,01 и надбавка 7%. При этом она решает задачу обеспечения достаточной надежности за счет клиента, но ее услуги еще и дешевле средних на страховом рынке. Это идеальный вариант для компании.

Малая компания не имеет ни одного приемлемого варианта, ей для повышения надежности необходимо увеличить начальный капитал и прибегнуть к перестрахованию, но у малой компании и своих средств мало.

Сравнить устойчивость компаний можно и по отклонению (точнее, превышению) фактического числа страховых случаев т от ожидаемого я-рна каждые 100 договоров (при одинаковой надежности). Например, вероятность разорения . Тогда для малой компании получили надбавку 23%, поэтому на каждые 100 договоров у этой компании с вероятностью 0,99 число страховых случаев не превысит:

,

а для большой компании правая граница доверительного интервала при надбавке в 7% будет равна, т.е., в среднем, на полтора случая меньше.

Таким образом, если на страховом рынке в данной подотрасли средняя относительная рисковая надбавка составляет 10%, то малая компания не в состоянии выдержать конкуренции, а большая, имея солидный запас прочности (7%), держится на плаву, не прилагая для этого никаких усилий (только потому, что она большая!). Она даже может снизить свой тариф (по сравнению со средним), например, продавать свои полисы (условно) по 107 единиц по сравнению с ценой 110 (в среднем) и с ценой 123 у малой компании, и тем самым вытеснить конкурентов с рынка, ничем при этом не рискуя.

Таким образом, проиллюстрировано преимущество крупных компаний. (Этим отчасти объясняются опасения отечественных страховщиков, связанные с последствиями прихода на российский рынок их западных коллег.)

Если актуарные расчеты показали, что компания не в состоянии обеспечить достаточно высокую надежность за счет рисковой надбавки, то она обязана повысить надежность путем создания достаточных начальных резервов и (или) перераспределить риск путем перестрахования.

Потенциальному страхователю следует обратиться в крупную компанию, имеющую большой однородный портфель аналогичных договоров. Здесь ему предложат более выгодные условия (тариф ниже при более высокой надежности).

Отметим:

Рисковая премия + Рисковая надбавка= Нетто-премия.

Если нагрузка на ведение дела составляет фиксированный процент от тарифа, можно найти брутто-премию, разделив нетто-премию на ().