1.4 Задачи актуария в страховой компании

Исторически первой задачей, которую пришлось решать актуарию, была задача определения величины страховой премии, обеспечивающей эквивалентность рисков страховщика и страхователя, т.е. равенство современных величин их возможных потерь. Для простоты проанализируем пример без учета процесса наращения, т.е. будем считать, что сумма собранных премий равна сумме выплаченных страховых возмещений.

Предположим, что актуарий проанализировал страховые договоры определенного типа и выяснил влияние различных факторов на возможность возникновения страхового случая и величину убытков. Тогда он может разбить все неоднородное множество договоров на несколько однородных подмножеств (групп). Это позволяет внутри каждой группы рассматривать не ущерб по каждому договору, а суммарный ущерб, что для страховщика значительно важнее.

Пусть на основании предыдущего опыта выяснено, что за единицу времени (год) в группе из договоров произошло случаев. Тогда частость позволяет оценить вероятность наступления страхового случая.

Если из года в год эмпирические значения практически равны, т.е. их колебания случайны и не содержат тренда, то нет необходимости в прогнозировании поведения этой величины, достаточно знать ее среднее значение. При большом общем числе наблюдений (договоров) можно с высокой надежностью утверждать, что истинное значение параметра будет находиться в очень узком доверительном интервале.

Тогда можно для дальнейших расчетов взять не точную оценку , а правую границу доверительного интервала (это уменьшит вероятность разорения страховой компании, но несколько снизит ее конкурентоспособность).

Теперь можно приступать к планированию политики компании относительно этого вида риска на следующий год. Собранные премии должны обеспечить выполнение страховщиком своих обязательств. Однако он сможет это сделать только, если фактическое число страховых случаев будет равно своему математическому ожиданию (принцип эквивалентности риска) или меньше его. В последнем случае страховщик даже получит доход.

Однако его больше интересует противоположная ситуация: превышение фактического числа случаев над ожидаемым, которая может привести к разорению страховой компании. Во избежание этого страховщик использует такие средства, как рисковая надбавка, а также привлекает собственный капитал для создания начального резерва.

Отдельная и очень важная задача - оценка страховых резервов. Страховой резерв - это выраженный в денежной форме размер будущих обязательств. На эту величину пассивов страховщик должен иметь активы. Собственные средства в страховании называются «маржа платежеспособности». Они оцениваются по принципу компромисса между надежностью и прибылью.

Решение этого комплекса задач начинается с построения доверительного интервала для числа страховых случаев. При этом страховщика интересует самая неблагоприятная ситуация: выход за правую границу, и соответственно, вероятность этого. Разность между правой границей и средним значением и представляет ту часть риска страховщика как предпринимателя, которую он хочет (и должен!) устранить (предотвратить).

Очевидно, что прямое повышение надежности функционирования компании вызовет расширительного интервала, т.е. увеличение разности между правой границей и средним значением. Если среднее значение не изменится, то отношение этой разности к среднему значению (относительная погрешность) возрастет. Тогда страховщик сталкивается с проблемой допустимой величины рисковой надбавки.

Эта надбавка призвана отдалить правую границу и тем самым уменьшить вероятность выхода за нее. Поэтому любой разумный клиент согласен платить эту надбавку, если она мала по сравнению с величиной премии, рассчитанной из принципа эквивалентности. Возможность снизить вероятность разорения компании простым увеличением этой надбавки (за счет клиента!) ограничена из-за конкуренции.

Следовательно, необходимо учитывать возможность возникновения на страховом рынке ситуации, при которой придется снижать эту надбавку. Возникает задача поиска разумного компромисса между повышением надежности и повышением конкурентоспособности. Очевидно, играет роль и объем портфеля. Чем он больше, тем компания устойчивее. Она может поддерживать высокую конкурентоспособность, уменьшая надбавку (т.е. снижая тариф) практически без ущерба для надежности.

Когда же возможности повышения надежности путем введения рисковой надбавки исчерпаны, компания привлекает свои средства. Если величина начального капитала рассчитана правильно, то он расходуется и пополняется таким образом, что (в среднем) не возрастает и не убывает. Отметим, что излишний начальный капитал - это средства, извлеченные из оборота. Они не приносят дохода (или приносят значительно меньший доход, чем возможно), поэтому, слишком большой резерв не целесообразен. К тому же для предпринимателя важно соотношение между своими средствами и привлеченными (собранными премиями).

Но и снижение капитала недопустимо, так как может помешать компании выполнить свои обязательства, и тем самым подорвать доверие к страховой компании, да и к страховому бизнесу в целом. Поэтому государственные органы, курирующие страховой бизнес, особенно жестко контролируют именно эту сторону деятельности страховых компаний.

Повысить надежность можно путем перестрахования, однако за услуги перестраховочной компании надо платить, в то время как свой капитал остается в своем распоряжении. Поэтому актуарий обязан тщательно просчитать все возможные варианты перестрахования и сконструировать оптимальную комбинацию надбавки, капитала и перестрахования, обеспечивающую решение многоцелевой задачи: высокую надежность и конкурентоспособность, и еще прибыль. (До сих пор не упоминалась нагрузка, включающая расходы на ведение дела превентивные мероприятия, а также прибыль акционеров).

Общая схема функционирования страхового общества может быть представлена следующим образом. Имеется однородное множество договоров, число которых достаточно велико, а вероятность наступления страхового случая в каждом отдельном договоре очень мала и приблизительно одинакова для каждого конкретного клиента. Страховая сумма, выплачиваемая клиенту при наступлении страхового случая, в простейшем случае также одинакова.

Актуарий должен решить для данной страховой компании следующие задачи:

* определить величину рисковой премии, обеспечивающей эквивалентность обязательств и риска у страховщика и страхователя;

* определить величину рисковой надбавки;

* определить величину страхового запаса (капитала), обеспечивающего выживание (неразорение) компании с определенной надежностью;

* проанализировать возможность повышения устойчивости компании с помощью перестрахования и рассчитать плату за перестрахование при различных условиях договора и перестраховании;

* оценить положение компании на страховом рынке и в зависимости от ситуации сформулировать подтвержденные расчетами рекомендации по укреплению позиций компании.

Важно отметить, что конкретного клиента интересует только его собственный договор, то есть индивидуальный риск. Для отдельного клиента страховой случай может либо наступить с вероятностью , либо не наступить с вероятностью . Следовательно, страхователь рискует премией с вероятностью , а страховщик рискует разницей между страховой суммой и полученной премией с вероятностью . Поэтому принцип эквивалентности риска сторон (при отсутствии индексации) приводит к уравнению: , отсюда: .

Если договоров несколько, то компанию интересует не отдельный договор и наступление случая в нем, а общее число случаев для всего портфеля и сумма всех выплат, т.е. коллективный риск по всему портфелю. Все страхователей внесут в виде премии по , в среднем следует ожидать страховых случаев, в каждом из которых придется выплатить возмещение, т.е. , или . Результат тот же. Рисковая премия не зависит от числа договоров в портфеле, но рассчитанная на основе рисковой премии нетто-премия зависит от . Соответственно, это отразится и на брутто-премии (где добавится влияние еще и третьих факторов).

Если размер выплаты фиксирован, то можно оперировать числом страховых случаев, т.е. имеет место биномиальный закон распределения, поэтому (при малой вероятности страхового случая в отдельном договоре) для однородного портфеля общее число случаев за срок действия договора подчиняется закону Пуассона. Отметим, что при определенных условиях оба распределения можно аппроксимировать нормальным законом. При распределенной величине ущерба, если портфель качественно однороден, т.е. не содержит резко выделяющихся наблюдений (договоров), то согласно закону больших чисел суммарный ущерб в портфеле подчиняется нормальному закону.

Данное обстоятельство объясняет причину широкого применения указанных распределений (а также тесно связанных с ними других законов) в актуарных расчетах. Например, если число случаев за единицу времени подчиняется распределению Пуассона, то длительность временного интервала между двумя очередными случаями подчиняется экспоненциальному распределению.

Вначале для упрощения будем считать, что размер выплат фиксирован. Тогда общий убыток страховщика пропорционален числу страховых случаев. Если объем однородного портфеля велик, а вероятность страхового случая в одном договоре мала, то применима пуассоновская аппроксимация. Наибольшее значение плотности в точке (интенсивность потока заявок или математическое ожидание количества заявок - исков о возмещении понесенного ущерба). Как было показано ранее, если страховая сумма, выплачиваемая при наступлении страхового случая, во всех договорах постоянна и равна , а единовременная страховая премия, вносимая клиентом для обеспечения эквивалентности риска, равна , то из равенства собранной суммы взносов и общей суммы выплат следует: . Результат совпал с полученным ранее, как и должно быть.

Однако нетрудно заметить, что собранная сумма взносов (рисковых премий) обеспечивает выплату компенсаций только при благоприятной для страховщика ситуации, когда фактическое число случаев не превосходит его математического ожидания: , т.е. при таких условиях помощь может быть оказана только первым клиентам. При меньшем количестве случаев компания сохраняет часть невостребованных средств. Но нельзя обращать эту сумму в прибыль, она должна быть направлена в страховой фонд (резерв) на случай превышения фактического числа выплат над ожидаемым в следующем году.

На практике возможно использование остатка для распределения между страхователями, у которых не было страховых случаев (в виде поощрения), или эти средства можно пустить в оборот, чтобы в дальнейшем вернуть клиентам несколько большую сумму. Важно, что эта часть средств, собранных с клиентов (но не истраченных на выплату возмещений), не становится собственностью (или даже доходом) компании, а продолжает принадлежать совокупности клиентов и должна использоваться в их интересах.