2.2 Показатели Ляпунова

Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых и диссипативных динамических систем. Они дают вычислимую количественную меру степени стохастичности. Помимо этого, существует тесная связь между показателями Ляпунова и другими характеристиками случайности, такими, как энтропия Колмогорова или фрактальная размерность [5].

При вычислении показателей Ляпунова в наиболее простых задачах нелинейной динамики обычно рассматривают систему трех нелинейных дифференциальных уравнений или одного логистического отображения

здесь а -- параметр уравнения.

Такое отображение в конечно-разностной форме дает в широком интервале значений параметра не только периодические, но и хаотические решения, отличающиеся по некоторым своим свойствам от соответствующих непрерывных решений. Конечно-разностный вид этого уравнения соответствует временному предоставлению статистических данных: они указываются для определенного временного интервала -- квартала, года.

Если в системе -- мера начального расстояния между двумя исходными точками для параметра порядка (переменной) , то спустя малое время t = k расстояние между траекториями и (k -- порядковый номер итерации), выходящими из этих точек, становится равным [6]

где -- показатель Ляпунова (рис. 1). Расстояние между двумя расчетными соседними траекториями определяется величиной

Аналогичные предположения можно высказать, если обращаться к другим отображениям, в том числе применяемым в анализе фазовых переходов. На рис. 2, а представлены регулярные колебания _k (показатель Ляпунова < 0), на рис. 1, б -- возникновение хаотических пульсаций ( > 0).

В отличие от классической динамической теории фазовых переходов Ландау-Халатникова, для которой реализуется одно из двух устойчивых состояний ₁ (или ₂) при возрастании одного из параметров, например, времени последействия, описываемая переменная начинает осциллировать в малой окрестности одной из фаз (рис. 2, а). Для таких движений показатель Ляпунова принимает отрицательное значение.

На рис. 2, б имеет место переход к хаотическому состоянию, что подтверждается положительным значением показателя Ляпунова. Детерминированный хаос имеет место вблизи аттрактора ₂(<0), который был задан начальным значением ₀(<0). На этом рисунке фиксируются небольшие «хаотические флуктуации» параметра порядка, лежащие в пределах, совместимых с сохранением данной фазы (гомофазные флуктуации). В этом случае время жизни детерминированной траектории (t_r) является ограниченным.

На рис. 2, в фиксируется хаотическая динамика параметра порядка, связанная с гетерофазными флуктуациями. Здесь ₁, ₂ -- параметры порядка, соответствующие равновесным временным фазам. В этом отношении переменную _k можно трактовать для данного отображения как некоторый параметр порядка, смысл которого устанавливается при решении конкретных задач в системах со структурными превращениями, в том числе в экономических системах.

Показатель Ляпунова для отображения зависит от параметра a, и он может быть вычислен по формуле

, _k+1= (_k)

Для других отображений возникают многопараметрические зависимости от других управляющих параметров.

Если анализ ведется на макроэкономическом уровне, то для такой системы можно указать область параметров, в которой решение ведет себя хаотически,-- это область детерминированного хаоса > 0. При > 0 соответствующий макроэкономический режим является локально неустойчивым и хаотическим; при = 0 -- нейтрально устойчивым; при < 0 -- устойчивым и периодическим.

Рис. 2. Хаос и эволюция «расстояния» между двумя итерациями отображения при заданных отличающихся начальных условиях.

Расстояние между двумя соседними траекториями и (k -- порядковый номер итерации) определялось величиной _k= a) ₀ = 10^-3, = -0,22; б) ₀ = 10^-3, = 0,70; в) ₀ = 10^-8, = 0,76.

Энтропия Колмогорова. Энтропия Колмогорова -- важнейшая характеристика хаотического движения в фазовом пространстве произвольной размерности.

Термодинамическая энтропия S есть мера беспорядка в данной системе. Простой пример системы, в которой S растет, -- молекулы газа, которые вначале помещены в одну половину куба и которым затем внезапно открывается возможность заполнить весь сосуд. Беспорядок в системе нарастает, так как молекулы больше не отделены от другой половины куба. Этот беспорядок связан с ростом нашего незнания о состоянии системы (до того как была убрана перегородка, о расположении молекул мы знали больше).

Более строго, энтропия S, определенная как:

,

где {P_i} -- вероятности для системы оказаться в состояниях {i}, есть мера информации, необходимая для определения местоположения системы в некотором состоянии i, т. е. S есть мера незнания о системе.

Итак, энтропия Колмогорова (метрическая энтропия) пропорциональна скорости потери информации о состоянии системы с течением времени и является мерой экспоненциальной скорости разбегания траекторий динамической системы. Определение метрической энтропии -- необходимый элемент комплексного анализа на детерминированный хаос, она может быть использована в анализе фазовых переходов в различных системах.

Время, за которое система забывает начальные условия. При определении информационной энтропии в виде S(t) = K₀t (t) со сколь угодно большой точностью огрубления фазового пространства 0 энтропия максимума не достигает. Анализ существенно упрощается, если зафиксировать конечный порядок огрубления фазового пространства ₀, тогда за время t_r область = ₀ расширяется до предельного значения В результате время жизни фазовой траектории связано с метрической энтропией К₀ = соотношением:

Отметим, что в формуле Г.М. Заславского [4] предельное значение нормировано:

Другими словами, точное предсказание состояний нелинейной системы возможно только на интервале времени t_r, а на временах, больших t_r, возможны лишь статистические предсказания. Для одномерного отображения энтропия Колмогорова равна положительным значениям показателя Ляпунова: K₀ = > 0.

Вычислив, таким образом, K₀, можно определить время разбегания двух соседних траекторий за время t_r t_r/t₀. При полной неустойчивости различие в траекториях растет со временем экспоненциально. Для конкретно заданной экономической системы с фазовыми переходами, таким образом, можно определить, будет ли ее движение неустойчивым.

Небольшой сбой с таких траекторий приводит к практически непредсказуемому поведению фазовой траектории, анализ таких явлений чрезвычайно важен для практики, так как начальные условия задаются всегда с ограниченной точностью. Например, курс валюты на торгах задается с ограниченной точностью. Энтропия Колмогорова может служить своеобразным индикатором периодического (квазипериодического) поведения параметра порядка (K₀ = 0), хаотического (K₀ > 0) и случайного (K₀).

Для регулярного движения первоначально близкие точки остаются близкими.

Для хаотического движения первоначально близкие точки расходятся экспоненциально.

Для случайного движения первоначально близкие точки распределяются с равной вероятностью по всем возможным интервалам.

Далее рассмотрим особенности хаотических свойств курсов валют.