2.1 Нелинейная экономика рынка: многообразие справедливости и фрактальная динамика

Наиболее интересное время в любой области исследований - это время перемен. Рынки капитала являются нелинейными системами, теория линейных методов, на основании которой строились все модели и прогнозы функционирования рынков во второй половине XX века, уступила место теории экономического хаоса, как ни страшно это звучит. Теория хаоса позволила распространить нелинейные концепции на экономический анализ рынков и более внятно объяснить их природу [4].

Согласно последним исследованиям, современные рынки являются нелинейными системами, что очевидно для специалистов. Поэтому их отличают следующие характеристики:

1) долговременные корреляции и тренды как результат обратной связи;

2) колебания между "справедливыми" состояниями и критическими точками;

3) временные ряды прибылей имеют фрактальную структуру, то есть фрагмент каждой траектории будет подобен траектории в целом;

4) надежность прогнозов тем более уменьшается, чем более далеким является прогнозируемый момент (сильная зависимость от начальных условий и слабеющая, но долговременная память).

В 1993 году С. Кауфман выяснил, что спонтанная согласованность структур - более приемлемый механизм эволюции, чем дарвиновские медленные перемены. Новый вид всегда возникает в рамках общей динамики, но в результате неких взрывов природной активности. В социальных науках происходит то же самое: рассредоточенная индивидуальная деятельность внезапно становится направлением или школой. Российская плохо организованная компания, тем не менее, действует как единый организм, не имея никакой вербализованной корпоративной культуры и правил. В природе таких примеров много. Есть что-то, что направляет ситуацию в рамках некого тренда, несмотря на разнообразие ситуаций и отношений.

В подтверждение этого закона финансовые рынки в одних и тех же случаях ни эффективны. Экономисты говорят об экономических циклах, трейдеры - о рыночных, но никто ни тех, ни других циклов не видел, потому что в обычном, линейном, четком понимании их нет. Порядок в рыночном хаосе не линеен и не имеет четких границ, поэтому в этих терминах не объясним. Главная причина, по которой линейные представления не могут объяснить экономическую реальность, состоит в предположении относительно мира как такового, а не просто экономики.

Исследования по анализу рынков показали, что акции производств с высоким уровнем инноваций (например, технологические компании) имеют тренд более внятный и быстро развивающийся - и менее "шумный" (размытый), чем акции низкоинновационных компаний (например, коммунальных предприятий). Следовательно, в творческих (инновационных) компаниях вложения, как это ни парадоксально, имеют меньший риск, чем в нетворческих, так как у первых имеет место быстрый и предсказуемый тренд.

Проще говоря, в современной экономике верно не только старое правило: "Кто не рискует, тот не пьет шампанского", но и другое правило: "Кто творит, тот выигрывает, причем быстрее и увереннее". Это до некоторой степени противоречит нашим представлениям о том, что безопасно двигаться - значит двигаться медленно. Ситуация напоминает езду на велосипеде: на маленькой скорости вероятность упасть выше, чем на большой.

Аттракторы экономического хаоса. Инвесторы при определении справедливой цены пользуются информацией о доходах, управлении, новой продукции и текущей экономической обстановке. Кроме того, они учитывают готовность других инвесторов платить за те или иные акции. Если инвесторы видят, что тренд соответствует их позитивным ожиданиям, они начинают покупать по примеру других. Смещение меняется, когда цена достигнет верхней границы справедливой величины. Кроме того, принципиально изменить ситуацию может новая информация относительно ценных бумаг.

Исследования финансовых рынков США показали, что на них есть четкие инварианты. Сегодняшняя информация какое-то время влияет на будущее по затухающей кривой и, по статистике, приблизительно через 48 месяцев память о событии теряется. В среднем, рыночные показатели, отстоящие на 42 и более месяцев, не соотносятся и не коррелируют. Причем в системе имеется шум для периодов короче 20 дней, то есть тренды плохо различимы в этих пределах.

Фрактальная структура рынков в результате порождает тренды, непериодические циклы и много "справедливых цен". Кроме того, нелинейные системы склонны к внезапным драматическим переменам. В нормальном распределении изменения имеют место при накоплении значительного количества событий. Большие изменения могут быть разрывными и внезапными. Редкие резкие перемены вызываются изменением периода колебаний, что порождает новые фрактальные последовательности (с новой размерностью).

Теория хаоса позволяет измерить динамику неопределенности и найти порядок ее нерегулярности. Она свидетельствует, каким сложным может быть поведение, заключенное в простых детерминистических уравнениях. Она показывает нам порядок в природе, но предупреждает, что мы живем рядом с неопределенностью. Теория хаоса говорит, что рынки не эффективны, но при этом предсказуемы.

Человечество много лет находилось под обаянием ньютоновской физики, основанной на линейных отношениях и предполагающей, что:

- каждая причина имеет прямое следствие; - все системы стремятся к равновесию; - природа упорядочена.

Нелинейные системы имеют дробные фрактальные размерности и заполняют пространство по своим нелинейным законам подобия. Единственного решения в нелинейных системах нет, зато часто есть бесконечное множество решений, заключенных в ограниченной части пространства.

Выделяют три класса нелинейных систем, важных для описания экономики и прочих реальных процессов. Каждый из них имеет собственный тип аттрактора (область решений):

· "Точечный аттрактор". Пример такой системы - качающийся маятник, который сила трения со временем останавливает в одной точке. Система "притягивается" (attract - английское слово, обозначающее "притягивать") к начальной точке равновесия.

· "Предельный цикл". При условии, что трения нет, маятник будет вечно колебаться и представлять собой регулярную периодическую систему. Эконометрика рассматривает экономические системы как равновесные (с точечным аттрактором) или колеблющиеся вокруг точки равновесия (с предельным циклом). Эмпирически такой взгляд не подтверждается. Экономические ряды характеризуются непериодическими циклами, типичными для нелинейных систем

· "Странный аттрактор". Если мы случайно изменяем сообщаемую маятнику энергию через равные временные промежутки, то результирующее движение будет различным и непериодическим. Однако оно ограничено максимальной амплитудой маятника и законами физики (сила тяготения и пр.). Результатом такого движения является хаотический, или странный аттрактор (Мандельброт назвал его "фрактальным"). Странные аттракторы заключают в себе ряд возможностей, при которых равновесие становится ограниченной областью с бесконечным множеством решений в пространстве. Есть разные формы совместной жизни мужчины, женщины и ребенка; все это виды равновесий, называемых "семья". Многочисленные человеческие сообщества зарабатывают деньги производством и продажей услуг или товаров, но все юридические лица такого рода именуются фирмами. Системы притягиваются к формам, которые являются их воистину "странными аттракторами".

Большинство хаотических, естественных аттракторов - это случайные (нерегулярные) фракталы. Уравнения, описывающие реальные процессы, имеют плавающие параметры, потому что мы не способны поддерживать постоянство управляющих параметров. Поэтому такие системы часто переходят от точечного аттрактора к предельному циклу или даже сразу к странным аттракторам.

Для оценки текущей ситуации в нелинейной теории были введены показатели Ляпунова: положительный показатель дает информацию о том, насколько быстро разбегаются близлежащие точки, отрицательный - как долго система восстанавливается после испытанного ею возмущения.

Показатели Ляпунова позволяют классифицировать аттракторы:

· Точечный аттрактор характеризуется тремя отрицательными показателями (-,-,-) по всем трем осям пространства: процесс сходится к точке.

· Трехмерный предельный цикл имеет два отрицательных показателя и один равный нулю (0,-,-): предельные циклы имеют две размерности, конвергирующие одна в другую, и одну размерность, в которой нет изменений.

· Трехмерные странные аттракторы характеризуются показателем (+,0,-). То есть они в значительной степени зависимы от начальных условий (+) и имеют тенденцию сильно менять будущее поведение при малых изменениях начальных условий. Отрицательный показатель заставляет дивергирующие точки оставаться в области аттрактора. В случае странного аттрактора равновесие определяется тем, как далеко могут удалиться значения, прежде чем вернуться к умеренным пределам аттрактивной области. Одно из возможных объяснений странного аттрактора на рынках капитала объясняется тем, что напряжение порождается психологическими или техническими факторами, но истинная стоимость возвращает цены в разумный диапазон.

Теперь, наконец, надо сказать, что мы можем твердо оценить надежность только такой системы, уравнения, движения которой нам известны. В реальности мы никогда не знаем всех переменных, с определенностью включенных в систему, и опираемся только на неполные экспериментальные данные и нечеткий эмпирический анализ. В экономических временных рядах, подобных ценам фондового рынка, кроме всего перечисленного выше, еще и смешиваются устойчивые и турбулентные состояния. Ну и, конечно, рынки подвергаются влиянию плохо измеряемых сил.

Согласно исследованиям, финансовые рынки США, Англии и Германии имеют фрактальную размерность между 2 и 3. Японский рынок более сложен и обладает фрактальной размерностью 3,05. Это значит, что для описания первых трех рынков достаточно 3-х переменных, а японский нужно моделировать в четырехмерном пространстве. Ожидания рынка определяют степень его разогретости, а ценности рынка - пределы аттрактора. Это первые две переменные. Рыночная ликвидность акций, видимо, представляет собой третью переменную, определяющую нелинейную динамику рынка.

Рынок есть сложная динамическая система, которая развивается, чтобы выжить. Неопределенность и сложность факторов, ее определяющих, позволяет ей не быть скупленной одним инвестором, после чего она перестала бы существовать. Так что надо отдать должное рынку как организму - он преуспевает в борьбе за выживание. Его задача - обеспечить ликвидность акций, а вовсе не в том, чтобы установить справедливые цены или гарантировать стабильность некой торговой системы. Как и у любой нелинейной системы, все циклы рынка сходны в глобальных характеристиках и отличны в деталях. Например, любой бычий (тенденция курса к повышению) или медвежий (тенденция к понижению) рынок состоит из падающих и растущих цен на протяжении подъема и спада бизнес-цикла. Однако причины и обстоятельства этих колебаний индивидуальны у каждого цикла. Поэтому важно понимать, что рыночный аттрактор связан со своеобразием бизнес-цикла, а не с торговлей как таковой.

Для инвесторов это означает, что всегда есть возможности для извлечения прибыли, но нет системы, которая могла бы это гарантировать.

Общего эффективного с инженерной точки зрения метода исследования устойчивости произвольной нелинейной системы не существует.

Теоретическое решение проблемы устойчивости было дано А.М. Ляпуновым в 1891г. Основную роль здесь играет возможность построения специальной скалярной функции векторного аргумента, то есть скалярной функции на фазовом пространстве системы. Эта функция называется функцией Ляпунова.

Идея Ляпунова очень проста, рассмотрим двухмерный случай и функцию Ляпунова . Пусть имеется нелинейное уравнение движения в двухмерном фазовом пространстве

Движение будет устойчивым, если функция Ляпунова удовлетворяет следующим требованиям:

1. Линии уровня функции Ляпунова замкнуты;

2. Функция Ляпунова неотрицательна;

3. Скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектораскорости в любой точке отрицательно:

;

Рис. 1 - Функция Ляпунова

В самом деле, скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектора скорости в любой точке своим знаком показывает тупой или острый угол б. Если угол б тупой, то вектор скорости направлен внутрь линии уровня, и траектория движения стремится войти внутрь линии уровня и далее двигаться к началу координат. Если, наоборот, б острый, то траектория стремится от начала координат. Очевидно, что в первом случае система устойчива, а во втором случае - нет.

Данное скалярное произведение есть также полная производная функции Ляпунова по времени.

Теперь дадим формулировку теоремы Ляпунова. Теорема Ляпунова (эскиз формулировки).

Пусть найдется функция такая, что ее производная вдоль траектории системы отрицательна, т.е. выражение отрицательно. Тогда система устойчива.

К сожалению, не существует общего метода построения функции Ляпунова для произвольной нелинейной системы.

Однако к настоящему времени функции Ляпунова построены практически для всех наиболее важных классов нелинейных систем, встречающихся на практике.

Более того, если построена функция Ляпунова, то через нее удается выразить такие показатели качества переходного процесса как перерегулирование время переходного процесса и т.д.

Один из важнейших классов нелинейных систем, для которых можно построить функцию Ляпунова, это случай наличия единственной нелинейности F(x) в системе, как в методе гармонической линеаризации. Тогда функцию Ляпунова можно выбрать в виде:

В случае линейной системы функцию Ляпунова можно всегда выбрать в виде квадратичной формы.