Цена американского опциона

Так как американский опцион может быть исполнен в любое время между и , мы определим его как последовательность неотрицательных случайных величин (выплат), адаптированную к . Случайная величина -- это немедленная прибыль владельца опциона, получаемая от исполнения опциона в момент времени . В случае американского call-опциона на акции стоимостью с ценой исполнения функция выплат ; в случае put-опциона -- .

Справедливую цену опциона , ассоциированную с выплатами можно получить, используя метод индукции в обратном времени, начиная с момента .

Действительно, стоимость опциона в момент окончания его действия, очевидно, совпадает с . По какой цене опцион следует продавать в момент ?

Если держатель опциона исполняет его в этот момент времент, он получает . Если он откладывает его исполнение до момента , то выпустивший опцион должен быть готов заплатить ему . Поэтому в момент времени эмитент должен иметь возможность заработать капитал, представляющий собой максимум из и суммой, которую необходимо иметь в момент времени , чтобы получить в момент .

Другими словами, чтобы быть готовым к любым вариантам развития событий в будущем, в момент эмитент должен получить от продажи опциона сумму, равную максимуму из и значения в момент допустимой стратегии, дающей в момент выплату т.е. с .

Таким образом, в момент имеет смысл оценить опцион как

По индукции определим цену американского опциона для как

Если предположить, что доходность безрисковой бумаги за один период постоянна и равна , то и

Пусть --дисконтированная цена американского опциона.

Теорема 15   Последовательность является -супермартингалом. Это наименьший супермартингал, мажорирующий последовательность .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства

следует, что -- супермартингал, мажорирующий .

Действительно, по постороению

или

что доказывает супермартингальность .

Аналогично, умножая на , получаем мажорирующее свойство :

Пусть теперь -- некоторый супермартингал, который также мажорирует Тогда в конечный момент времени

Покажем при помощи индукции в обратном времени, что

Дествительно, (39) выполнено для . Пусть для некоторого . Тогда, с одной стороны

С другой стороны по предположения. Поэтому

Индукция в обратном времени доказывает, что мажорирует для всех .