2. Практическая часть

Задание № 1

Банк принимает депозиты на три, шесть месяцев и на год. Найти суммы выплат владельцу депозита, если его размер составляет 880 руб. Банк производит начисления с использованием простых процентов. Процентная ставка 20% годовых.

Простые проценты начисляются по формуле:

SUM = S * (1 + P / G * N)

SUM - конечная сумма, полученная владельцем депозита;

S - первоначальная сумма депозита;

P - период, в течении которого происходит начисление процентов;

G - количество периодов в году;

N - процентная ставка банка / 100.

SUM1 = 880 * (1+3/12*0,2) = 924 руб.

SUM1 = 880 * (1+6/12*0,2) = 968 руб.

SUM1 = 880 * (1+0,2) = 1056 руб.

Задание № 2

Вклад в размере 1800 руб. внесен в банк на 6 месяцев, один год, 15 месяцев. Найти сумму начисленных процентов, которую получит вкладчик в трех случаях при использовании простых и сложных процентов. Сделать вывод о том, какой метод начисления процентов более выгоден вкладчику. Определить, на какой период хранения вклада банку выгодно начислять простые и сложные проценты. Процентная ставка 25 % годовых.

Простые проценты начисляются по формуле:

SUM = S * (1 + P / G * N)

SUM - конечная сумма, полученная владельцем вклада;

S - начальная сумма вклада;

P - период, в течении которого происходит начисление процентов;

G - количество периодов в году;

N - процентная ставка банка / 100.

Формула сложных процентов предусматривает капитализацию процентов (начисление процентов на проценты).

Учитывая то, что в задании не указано с какой периодичностью начисляются сложные проценты, предположим их начисление по истечении срока вклада. В данном случае формула сложных процентов будет выглядеть следующим образом:

SUM = S * (1 + N/100)?

Где SUM - конечная сумма;

S - начальная сумма;

N - номинальная процентная годовая ставка;

а - количество периодов начисления процентов в годах.

Полученные результаты для удобства вынесем в таблицу 2.2.1.

Таблица 2.2.1.

Из таблицы 2.2.1 видно, что для вкладчика наиболее выгодным является вложение на 15 месяцев с начислением сложных процентов. Банку в данном случае выгодно принимать вклады сроком на 6 месяцев под сложные проценты, а на 15 месяцев под простые проценты.

Задание № 3

Клиент открывает срочный депозит на три месяца и по истечению срока действия депозитного договора хотел бы получить 3 млн. руб. Необходимо провести дисконтирование по сложной и простой ставке. Процентная ставка 16,5 %.

Решение

Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. При математическом дисконтировании расчеты выполняются по формулам:

Простая процентная ставка

SUM = S / (1 + Р/G * N)

Д = S - SUM

Где SUM - начальная сумма;

S - конечная сумма;

P - период, в течении которого происходит начисление процентов;

G - количество периодов в году;

N - процентная ставка банка / 100.

Д - дисконтирование

SUM = 3000000 / (1+3/12*0,165) = 2881152,46 руб.

Д = 3000000 - 2881152,46 = 118847,54 руб.

Дисконтирование по простой процентной ставке в данном случае составит 118847,54 руб.

Сложная процентная ставка

SUM = S / (1 + N)?

Д = S - SUM

SUM - начальная сумма;

S - конечная сумма;

а - период, в течении которого происходит начисление процентов в годах;

N - процентная ставка банка / 100.

Д - дисконтирование

SUM = 3000000 / (1+0,165)^0,25 = 2887614,06 руб.

Д = 3000000 - 2887614,06 = 112385,94 руб.

Дисконтирование по сложной процентной ставке в данном случае составит 112385,94 руб.

Задание № 4

При открытии сберегательного счета в банк 9 марта 2002 г. на счет было внесено 1892 рубля. Затем:

22 мая 2002 г. на счет было добавлено 2237 руб.

25 июня 2002 г. клиент внес еще 1944 руб.

9 июля 2002 г. со счета снято 1431 руб.

22 августа 2002 г. вкладчик добавил 500 руб.

9 ноября 2002 г. вклад был закрыт.

Определить сумму, которую получит вкладчик при закрытии счета. Начислить простые проценты в размере 6% годовых. Срок хранения вклада определяется по английскому методу.

В английской практике год = 365 (366) дней, продолжительность каждого месяца - фактическая.

Простые проценты начисляются по формуле:

SUM = S * (1 + P / G * N)

SUM - конечная сумма, полученная вкладчиком;

S - первоначальная сумма вклада;

P - период, в течении которого происходит начисление процентов в днях;

G - количество периодов в году, принимается равным 365;

N - процентная ставка банка / 100.

А для того, чтобы рассчитать только сумму начисленных простых процентов, применяем следующую формулу:

Sp = S * N * P / G /100

Sp - начисленные проценты; S - сумма вклада;

P - период, в течении которого происходит начисление процентов в днях; G - количество периодов в году, принимается равным 365;

N - процентная ставка банка.

Таким образом решение будет выглядеть следующим образом:

SUM1 = 1892 * (1 + 73 / 365 * 0,06) = 1914,70 руб.

Sp1 = 1892 * 6 * 73 / 365 / 100 = 22,70 руб.

SUM2 = 1892+2237 = 4129 * (1 + 33 / 365 * 0,06) = 4151,40 руб.

Sp2 = 4129 * 6 * 33 / 365 / 100 = 22,40 руб.

SUM3 = 4129+1944 = 6073 * (1 + 13 / 365 * 0,06) = 6085,98 руб.

Sp3 = 6073 * 6 * 13 / 365 / 100 = 12,98 руб.

SUM4 = 6073-1431 = 4642 * (1 + 43 / 365 * 0,06) = 4674,81 руб.

Sp4 = 4642 * 6 * 43 / 365 / 100 = 32,81 руб.

SUM5 = 4642+500 = 5142 * (1 + 78 / 365 * 0,06) = 5207,93 руб.

Sp5 = 5142 * 6 * 78 / 365 / 100 = 65,93 руб.

Таким образом общая сумма начисленных процентов по вкладу составит:

22,70 + 22,40 + 12,98 + 32,81 + 65,93 = 156,82 руб.

Общая сумма, полученная вкладчиком при закрытии счета составит:

1892 + 2237 + 1944 - 1431 + 500 + 156,82 = 5298,82 руб.

Задание № 5

Найти срок в годах, за который вклад возрастет с 900 руб. до 1500 руб., при начислении процентов по простой ставке 23 % годовых.

Решение

Простые проценты начисляются по формуле:

SUM = S * (1 + P / G * N)

SUM - конечная сумма, полученная вкладчиком;

S - первоначальная сумма вклада;

P - период, в течении которого происходит начисление процентов;

G - количество периодов в году;

N - процентная ставка банка / 100.

Для определения периода в течении которого происходило начисление процентов, применяем следующую формулу:

Р = ( SUM / S - 1) / N * G = (SUM - S) / (S * N)

Решение выглядит следующим образом:

(1500-900) / (900 * 0,23) = 2,9 лет.

Вклад возрастет с 900 руб. до 1500 руб. за 2,9 лет.

Задание № 6

Кредит в размере 1100 руб. был предоставлен банком 10 мая 2002 года со сроком погашения 9 октября 2002 г. Начисление производится по простой ставке 25% годовых. Календарная база определяется банком тремя методами (английским, французским и германским). Найти, в каком случае плата за пользование кредита будет наименьшей.

Решение

Простые проценты начисляются по формуле:

SUM = S * (1 + P / G * N)

SUM - конечная сумма, полученная вкладчиком;

S - первоначальная сумма вклада;

P - период, в течении которого происходит начисление процентов в днях;

G - количество периодов в году, в зависимости от метода начисления процентов;

N - процентная ставка банка / 100.

По германскому методу:

SUMг = 1100 * ( 1 + 148/360*0,25) = 1213,06 руб.

По французскому методу:

SUMф = 1100 * ( 1 + 151/360*0,25) = 1215,35 руб.

По английскому методу:

SUMа = 1100 * ( 1 + 151/365*0,25) = 1213,77 руб.

По германскому методу плата за кредит будет наименьшей.

Задание № 7

Вкладчик собирается положить в банк сумму в размере 2850 руб. с целью накопления 4300 руб. Ставка процентов банка 10 % годовых. Определить срок в днях, за который вкладчик сможет накопить требуемую сумму при расчетном количестве дней в году, равном 365.

Решение

Простые проценты начисляются по формуле:

SUM = S * (1 + P / G * N)

SUM - конечная сумма, полученная вкладчиком;

S - первоначальная сумма вклада;

P - период, в течении которого происходит начисление процентов в днях;

G - количество дней в году;

N - процентная ставка банка / 100.

Для определения периода в течении которого происходило начисление процентов, применяем следующую формулу:

Р = ( SUM / S - 1) / N * G = (SUM - S) / (S * N) * G

Решение выглядит следующим образом:

H = (4300-2850)/(2850*0,1) * 365 = 1857 дней.

Вкладчик сможет накопить требуемую сумму за 1857 дней.

Задание № 8

Банк выдает долгосрочные кредиты по смешанной ставке 12 %. Найти погашенную сумму, если кредит в размере 8700 руб. будет погашаться единовременным платежом через 3,5 года.

Решение

В данном случае формула сложных процентов будет иметь следующий вид:

SUMM = S * (1+N)^р

SUM - конечная сумма;

S - первоначальная сумма кредита;

P - период, в течении которого происходит начисление процентов в годах;

N - процентная ставка банка / 100.

SUM = 8700 * (1+0,12)^3,5 = 12936,90 руб.

Погашенная сумма составит 12936,90 руб.

Задание № 9

Если сложные проценты на вклады начисляются ежемесячно по номинальной годовой ставке 18,4 %, то какой должна быть сумма вклада для накопления через 1 квартал 2200 руб.

Решение

Формула сложных процентов применяется, если начисление процентов по вкладу, осуществляется через равные промежутки времени (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально) а начисленные проценты причисляются к вкладу, т. е. расчет сложных процентов предусматривает капитализацию процентов (начисление процентов на проценты).

В нашем случае формула сложных процентов будет выглядеть следующим образом:

SUM = V * (1 + N/100/12)?

SUM - конечная сумма;

V - начальная сумма;

N - номинальная процентная годовая ставка;

12 - количество периодов в году;

3 - количество периодов начисления процентов.

Учитывая то, что нам не известна начальная сумма, но известна конечная, для выполнения задания следует применить формулу расчета от обратного:

V = SUM / (1 + N/100/12)?

V = 2200 / (1 + 18,4/100/12)? = 2102

Сумма вклада должна составлять 2102 рубля.

Задание № 10

При условии кредитного договора ставка простого процента в первом месяце пользования кредитом составила 21,8 % годовых, в каждом последующем месяце она увеличилась 0,5%. Кредит предоставлен 22 марта 2002 г. в размере 26 000 рублей. Ссуда погашена 10 ноября 2002 г. календарная база определяется банком по французскому методу.

Решение

По французскому методу длительность года принимается равной 360 дней, количество дней в месяце - фактическое.

В данном случае для расчета начисленных процентов применяем следующую формулу:

SUM = (S*(P1/360*N1))+ (S*(P2/360*N2))+……….. (S*(P9/360*N9))

SUM - сумма процентов, начисленных за весь период;

S - первоначальная сумма;

P - период, в течении которого происходит начисление процентов в днях;

G - количество дней в году, по данному методу равно 360;

N - процентная ставка банка / 100.

SUM = (26000*(9/360*0,218))+(26000*(30/360*0,223))+ (26000*(31/360*0,228))+ (26000*(30/360*0,233))+ (26000*(31/360*0,238))+ (26000*31/360*0,243))+(26000*(30/360*0,248))+ (26000*(31/360*0,253))+ (26000*(10/360*0,258))) = 141,70 + 483,17 + 510,47 + 504,83 + 532,86 + 544,05 + 537,33 + 566,44 + 186,33 = 4007,18 руб.

Таким образом, наращенная на конец срока сумма составит 30007,18 руб.

26000 + 4007,18 = 30007,18 руб.

Задание № 11

На депозитный счет в конце каждого месяца будут вноситься по 250 рублей, на которые один раз в полугодие будут начисляться сложные проценты по ставке 14 % годовых.

1. Найти размер накопленной суммы через 2 года и сумму начисленных процентов

2. Произвести расчеты с условием, что вкладчик внес сумму сразу.

Сопоставьте полученные результаты, сделайте выводы.

Решение

В нашем случае формула сложных процентов будет выглядеть следующим образом:

SUM = V * (1 + N/100/2)^0,5

SUM - конечная сумма;

V - начальная сумма (накопленная сумма);

N - номинальная процентная годовая ставка;

12 - количество периодов в году;

0,5 - количество периодов начисления процентов в годах.

Решение

За первое полугодие накопленная сумма составит

250 * 6 = 1500 руб.

Накопленная сумма

SUM1 = 1500 * (1+14/100/2)^0,5 = 1551,60 руб.

Второе полугодие

1551,60 +1500 = 3051,60

Накопленная сумма

SUM2 = 3051,60 * (1+14/100/2)^0,5 = 3156,58

Третье полугодие

3156,58 + 1500 = 4656,58 руб.

Накопленная сумма

SUM3 = 4656,58 * (1+14/100/2)^0,5 = 4816,76

Четвертое полугодие

4816,76 + 1500 = 6316,76

Накопленная сумма

SUM4 = 6316,76 * (1+14/100/2)^0,5 = 6534,06

Сумма начисленных процентов

6534,06 - 250*24 = 534,06

Наращенная сумма, при условии, что вкладчик внес всю сумму единовременно:

6000 * (1 + 14/100/2)⁴ = 7864,80 руб.

Сумма начисленных процентов

7864,80 - 6000 = 1864,80 руб.

При сопоставлении полученных результатов наглядно видно, что вкладчику наиболее выгодно вносить сумму единовременно, так как сумма начисленных процентов в данном случае гораздо больше.

Задание № 12

Банк выпустил депозитные сертификаты дисконтного типа с номиналом в 18000 руб. На ценную бумагу начисляются проценты в размере 15,5 % годовых. Найти цену продажи ДС, а также доходы владельца ДС. Срок обращения три года.

Решение

Начисление простых процентов в данном случае осуществляется по формуле:

S = N * G * I

N - номинал сертификата;

G - срок обращения сертификата;

I - годовая процентная ставка.

18000 * 3 * 0,155 = 8370 руб.

Сумма при погашении сертификата

SUM = N + S

18000 + 8370 = 26370 руб.

Задание № 13

Вкладчик собирается положить в банк 5000 рублей, чтобы через 100 дней накопить 5450 рублей. Какой должен быть размер простой ставки процентов по вкладам?

Решение

В данном случае используем формулу:

SUM = I * (1 + P / G * N)

SUM - наращенная сумма; I - исходная сумма; P - количество периодов начисления (100 дней); G - количество периодов в году (360 дней);

N - процентная ставка, выраженная в долях за период.

Отсюда:

N = ((SUM - I)*G) / (I * P) = ((5450-5000)*360) / 5000 * 100 = 0,324

Для накопления суммы 5450 рублей за 100 дней при вкладе 5000 рублей простая процентная ставка должна составлять 32,4 % годовых.

Задание № 14

Вклад в размере 7500 рублей положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по ставке 23 % годовых. Средний уровень инфляции составил 1,9 % в месяц. Найдите реальный доход вкладчика с точки зрения его покупательной способности.

Решение

Необходимо найти накопленную сумму

SUM = 7500 * (1 + 0,23/12)⁶ = 8397 руб.

Коэффициент инфляции за полгода составил (1+0,019)⁶ = 1,1196

Накопленная сумма с учетом инфляции

8397 / 1,1196 = 7500 руб.

В данном случае реальный доход вкладчика с точки зрения его покупательской способности составил