2. Расчетная часть

Имеются следующие выборочные данные о деятельности российских коммерческих банков с ценными бумагами (выборка 3%-ная механическая), млн. руб.:

Исходные данные

Цель статистического исследования - анализ деятельности коммерческих банков по признакам: вложения в ценные бумаги и прибыль, включая:

· изучение структуры деятельности по признаку вложения в ценные бумаги;

· выявление наличия корреляционной связи между признаками вложения в ценные бумаги и прибыль банков, установление направления связи и оценка её тесноты;

· применение выборочного метода для определения статистических характеристик генеральной совокупности банков.

Задание 1

По исходным данным (табл. 1) необходимо выполнить следующее:

1. Построить статистический ряд распределения банков по вложениям в ценные бумаги, образовав, пять групп с равными интервалами.

2. Графическим методом и путем расчетов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.

3. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

Решение

1. Построение интервального ряда распределения банков по вложениям в ценные бумаги.

Для построения интервального ряда распределения определяем величину интервала i по формуле:

,

где - наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, n - число групп интервального ряда.

При заданных n = 5, x_max =9087 млн. руб. и x_min = 287 млн. руб.

i = 1760 млн. руб.

При i = 1760 млн. руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2 Границы интервалов

Определяем число банков, входящих в каждую группу, используя принцип полуоткрытого интервала [ ), согласно которому банки со значениями признаков, которые служат одновременно верхними и нижними границами смежных интервалов (2047, 3807, 5567, 7327 млн. руб.), будем относить ко второму из смежных интервалов.

Для определения числа банков в каждой группе строим разработочную таблицу 3 (данные графы 4 потребуются при выполнении Задания 2).

Таблица 3 Ранжированный ряд распределения

На основе групповых итоговых строк "Всего" табл. 3 формируем итоговую таблицу 4, представляющую интервальный ряд распределения банков по вложениям в ценные бумаги.

Таблица 4 Распределение банков по вложениям в ценные бумаги

Приведем еще три характеристики полученного ряда распределения - частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты (fк), получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов.

Таблица 5 Структура фирм по среднесписочной численности менеджеров

Вывод. 38,9% банков из совокупности имеют величину вложений в ценные бумаги от 2047 до 3807 млн. руб. Меньшее количество банков - 5,6% из совокупности имеют величину вложений в ценные бумаги от 7327 до 9087 млн. руб. Средние банки в совокупности со своими вложениями преобладают.

2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Для определения моды графическим методом строим по данным табл. 4 (графы 2 и 3) гистограмму распределения банков по изучаемому признаку.

Мода Мо - это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности.

Рис. 1. Определение моды графическим методом

Расчет конкретного значения моды для интервального ряда распределения производится по формуле:

где х_Мo - нижняя граница модального интервала,

h - величина модального интервала,

f_Mo - частота модального интервала,

f_Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл. 4 модальным интервалом построенного ряда является интервал 2047-3807 млн. руб., т.к. он имеет наибольшую частоту (f₄=14). Расчет моды:

млн. руб.

Вывод. Максимальное количество банков имеют вложения в ценные бумаги на 2687 млн. руб.

Медиана Ме - это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

,

где х_Ме- нижняя граница медианного интервала,

h - величина медианного интервала,

?f - сумма всех частот,

f_Ме - частота медианного интервала,

S_Mе-1 - кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты из табл. 5 (графа 5).

В демонстрационном примере медианным интервалом является интервал 2047-3807 млн. руб., так как именно в этом интервале накопленная частота S_j =24 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ().

Расчет значения медианы по формуле:

Вывод. Половина из исследуемых банков имеют величину вложений в ценные бумаги до 3053 млн. руб., другая половина имеет вложения в ценные бумаги больше чем 3053 млн. руб.

3. Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , у, у2, V_у на основе табл. 5 строится вспомогательная таблица 6 (х - середина интервала).

Таблица 6 Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Расчет средней арифметической в интервальном ряду:

млн. руб.

Расчет среднего квадратического отклонения:

млн. руб.

Расчет дисперсии:

у2 = 1962,266=3850487,855

Расчет коэффициента вариации:

Выводы: 1) в среднем величина вложений каждого исследуемого банка составляет 3367 млн. руб.;

2) квадрат отклонения величины вложений в ценные бумаги каждого банка от средней величины составляет 3850487,855;

3) величина вложений каждого банка отклоняется от средней величины 3367 млн. руб. на 1962,266 млн. руб., что составляет 58,3%. Следовательно, совокупность банков не однородна, т.к. 58,3%>35% и колеблемость признака средняя (умеренная), т.к. V>40%, но меньше 60%

4.Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

млн. руб.

Вывод. Средняя арифметическая по исходным данным является более точным значением, чем средняя арифметическая, вычисленная по интервальному ряду, т.к. в интервальном ряду мы находим середины интервалов.

Задание 2

По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками вложения в ценные бумаги и прибыль, образовав по каждому признаку, пять группы с равными интервалами, используя методы:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2. Оценить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

Решение

1а. Применение метода аналитической группировки

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y.

Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь. Строим аналитическую таблицу:

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках "Всего". Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

Таблица 7 Аналитическая таблица

Вывод. Анализ данных табл. 7 показывает, что с увеличением объема вложений от группы к группе систематически возрастает и прибыль по каждой группе банков, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

1б. Применение метода корреляционной таблицы.

Этот метод охватывает два ряда распределения: первый ряд представляет факторный признак (х), а второй результативный (у).

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам х и у. Величина интервала и границы интервалов для факторного признака х - вложения в ценные бумаги известны из табл. 7.

Для результативного признака у - прибыль величина интервала определяется по формуле:

,

при n = 5, у_max =650 млн. руб., у_min =11 млн. руб.:

млн. руб.

По этим данным строим корреляционную таблицу.

Таблица 8 Корреляционная таблица

Вывод. Не нулевые значения в корреляционной таблице расположены в начале главной диагонали, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между признаками вложения в ценные бумаги (х) и прибыль (у). По тесноте связи судить достаточно сложно, следовательно, нам необходимо рассчитать коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

2. Измерение тесноты корреляционной связи.

Для измерения тесноты связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели - эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение . Составим вспомогательную таблицу: - берем из (табл.7) , а млн. руб.

Таблица 9

=

Теперь можем найти и :

и

=0,217 это говорит о том, что прибыль банков на 21,7% зависит от вложений в ценные бумаги и 78,3% от других факторов. =0,466 по шкале Чеддока, говорит о том, что связь между признаками умеренная.

Задание 3.

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0, 954 определите:

1) ошибку выборки средней величины вложения средств банками в ценные бумаги и границы, в которых будет находиться средняя величина вложений в генеральной совокупности;

2) ошибку выборки доли банков с вложениями средств в ценные бумаги 3811 млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

1. Средняя ошибка выборки в случае бесповторного отбора для средней вычисляется по формуле:

= млн. руб., где

- средняя ошибка выборочной средней;

- дисперсия выборочной совокупности;

? доля выборки. Так как по условию выборка 3%-ная, то =0,03

Тогда предельная ошибка для средней будет равна:

=2*322,101=644,202 млн. руб.

Так как по условию ошибку надо гарантировать с вероятностью 0,954, то коэффициент доверия t=2. Из расчетов задачи 1 дисперсия равна

Тогда границы, в которых будет находиться генеральная средняя:

;

;

Вывод. Вложения ценных бумаг в генеральной совокупности в 954 случаях из 1000 будет лежать в пределах от 2722,798 млн.руб. до 4011,202 млн. руб., а в 46 случаях из 1000, она будет выходить за эти пределы.

2. Выборочная доля банков с вложениями в ценные бумаги 3811 млн. руб. и более равна:

Средняя ошибка выборочной доли вычисляется по формуле:

Найдем предельную ошибку для доли в случае бесповторного отбора:

Тогда границы, в которых будет находиться генеральная доля банков с вложениями в ценные бумаги 3811 млн. руб. и более равна:

;

;

18,1p48,5

Вывод. Доля банков с вложениями средств в ценные бумаги 3811 млн. руб. и более в генеральной совокупности в 954 случаях из 1000 будет лежать в пределах от 18,1% до 48,5%, а в 46 случаях из 1000 будет выходить за эти пределы.

Задание 4

Имеются следующие данные по коммерческому банку о просроченной задолженности по кредитным ссудам:

Таблица 10

Определите:

1. Задолженность по кредиту за каждый год.

2. Недостающие показатели анализа ряда динамики и внести их в таблицу.

3. Основную тенденцию развития методом аналитического выравнивания.

Осуществите прогноз задолженности на следующие два года на основе найденного тренда.

Постройте графики.

Сделайте выводы.

Решение

1. Так как мы не знаем задолженность по кредиту вообще, следовательно, из имеющихся данных строим систему уравнений:

Обозначим задолженность по кредиту за 2000 и 2001 года через и ().

106,25/100=1,0625

Решив, эту систему получаем, что млн. руб. и млн. руб.

Теперь мы можем рассчитывать и абсолютный прирост, и темп прироста, и темп роста, и абсолютное значение 1% прироста по формулам: (1.24); (1.26); (1.28); (1.30).

Темп прироста за 2001 год = Тр-100=106,25-100=6,25%

Абсолютный прирост за 2001 год выводим из формулы абсолютного значения 1%:

А==16*6,25=100

Остальные данные за 2001 год нам известны.

Так как у нас показатели цепные опираясь на этот год, мы можем рассчитать неизвестные данные за 2002 год и т.д.

Темп роста за 2002 год: Тр==

Темп прироста за 2002 год = Тр-100=105,9-100=5,9%

Абсолютное значение 1% прироста за 2002:

А= /Тп=100/5,9=16,9млн. руб.

Темп роста за 2003 = Тпр+100=30,0+100=130%

Задолженность за 2003 = Тр==130= млн. руб.

Абсолютный прирост за 2003 = ?y= =2340-1800=540 млн. руб.

Абсолютное значение 1% прироста за 2003=540/30,0=18 млн. руб.

Задолженность за 2004 = Тр==108,5= млн. руб.

Темп прироста за 2004 = Тр-100=108,5-100=8,5%

Абсолютное значение 1% прироста за 2004 = 198,9/8,5=23,4 млн. руб.

Мы вычислили задолженность по каждому году.

Занесем неизвестные показатели ряда динамики в таблицу 11.

Таблица11

3. С помощью метода аналитического выравнивания определяем тенденцию развития. Для этого нужно выбрать математическую функцию, которую предполагается принять в качестве модели тренда. В нашем примере сразу можно сказать, что функция линейная, т.к. задолженность возрастает от года к году. Формула линейной функции:

, где t - условный показатель времени [4, с.355]. (*)

Составляем вспомогательную таблицу.

Таблица 12

и

Искомое уравнение имеет вид: .

Теперь подсчитаем () для каждого года, подставляя значения t в это уравнение:

млн. руб.

млн. руб.

млн. руб.

млн. руб.

млн. руб.

Теперь, на основе найденного тренда, мы можем сделать прогноз на следующие 2005 и 2006 года с помощью подстановки в уравнение временной компоненты (3 и 4).

2005 год: млн.руб.

2006 год: млн. руб.

Рис. а). Тенденция роста является во времени.

Теперь построим изобразим график с прогнозом на 2 года вперед рис. б).

Рис. б). Тенденция роста явления во времени.

Вывод. Из графиков видно, что с каждым годом задолженность по кредиту растет. На основе найденного тренда мы построили прогноз на следующие два года. Этот прогноз показал, что задолженность по кредиту в 2005 и 2006 году также будет расти.