1.1 Теоретические аспекты применения простых и сложных процентов по депозитам

В соответствии со статьей 179 Банковского Кодекса Республики Беларусь банковский вклад (депозит) - это денежные средства в белорусских рублях или иностранной валюте, размещаемые физическими и юридическими лицами в банке или небанковской кредитно-финансовой организации в целях хранения и получения дохода на срок, либо до востребования, либо до наступления (не наступления) определенного в заключенном договоре обстоятельства (события).

Размещая свои денежные средства на депозите, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после размещения на депозите. Известны две основные схемы дискретного начисления: схема простых процентов и схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен P; требуемая доходность - r (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестируемый капитал ежегодно увеличивается на величину Pr. Таким образом, размер инвестируемого капитала (Rn) через n лет будет равен:

(1.1)

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т. е. база, с которой начисляется проценты, все время возрастает. Следовательно, размер инвестированного капитала будет равен

к концу первого года:

к концу второго года:

…

к концу n-года:

Как же относятся величины Pn и FVn? Это чрезвычайно важно знать при проведении финансовых операций. Все зависит от величины n. Сравним множители наращения по простым и сложным процентам, т. е. сравним и . Очевидно, что при n=1 эти множители совпадают и равны . Можно показать, что при любом r справедливы неравенства

, если

и , если .

Итак,

при ;

при .

Графически взаимосвязь FVn и Rn можно представить следующим образом (рисунок 1.1):

Рисунок 1.1 - Графическая взаимосвязь FVn и Rn

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, размещающего средства на депозите:

более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.

В случае краткосрочных ссуд со сроком погашения до одного года в качестве показателя п берется величина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год). Длина различных временных интервалов в расчетах может округляться: месяц -- 30 дней; квартал -- 90 дней; полугодие -- 180 дней; год -- 360 (365 или 366) дней.

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

Итак, формула наращения по схеме сложных процентов имеет вид:

(1.2)

где FVn -- сумма, ожидаемая к поступлению через п базисных периодов;

CF -- исходная сумма;

r -- ставка наращения;

FM 1(r,n) -- мультиплицирующий множитель.

Множитель инвариантен по отношению к суммовым величинам, а потому для удобства пользования его можно табулировать для различных комбинаций r и п. Этот множитель называется мультиплицирующим множителем для единичного платежа. Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях.

Экономический смысл множителя FM 1(r, n): он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар, одна иена и т. п.) через п периодов при заданной процентной ставке r, т. е. он оценивает будущую стоимость одной денежной единицы. Подчеркнем, что при пользовании этой и последующими финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базисным периодом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

В практических расчетах для наглядной и быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения при реализации схемы сложных процентов пользуются приблизительным расчетом времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы, известным, как правило, 72-х. Это правило заключается в следующем: если r -- процентная ставка, выраженная в процентах, то представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Это правило хорошо срабатывает для небольших значений r (до 20%). Так, если годовая ставка r = 12%, то k = 6 годам. Здесь речь идет о периодах начисления процентов и соответствующей данному периоду ставке. Если базисным периодом, т. е. периодом наращения, является половина года, то в расчете должна использоваться полугодовая ставка. В большинстве финансовых расчетов процентная ставка берется в долях единицы, в формуле алгоритма правила 72-х ставка взята в процентах.

В практике выплаты доходов на вложенный капитал нередко оговариваются величина годового процента и количество периодов начисления процентов. В этом случае расчет наращенной суммы FVn ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки, по формуле

(1.3)

где Р -- наращиваемая (т. е. исходная) сумма;

r -- объявленная годовая ставка;

т -- количество начислений в году;

n -- количество лет.

В формулах наращения и дисконтирования должно соблюдаться соответствие между процентной ставкой и продолжительностью базисного периода. Так, переход от годового начисления процентов к квартальному (т = 4) предполагает переход к квартальной ставке, что как раз и имеет место в формуле (3)

Таким образом, можно сделать несколько практических выводов:

при начислении процентов: 12% годовых не эквивалентно 1% в месяц (подобное ошибочное отождествление довольно распространено среди начинающих бизнесменов);

чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма (обращаем внимание на то, что речь идет не о выплате, а о начислении).

Для простых процентов такие выводы не имеют места. Одно из характерных свойств наращения по простым процентам заключается в том, что наращенная сумма не изменяется с увеличением частоты начислений простых процентов. Например, наращение простыми процентами ежегодно по ставке 10% годовых дает тот же результат, что и ежеквартальное наращение простыми процентами по ставке 2,5% за квартал. При наращении по сложным процентам ежеквартальное начисление доставляет больший результат, чем ежегодное.

Довольно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

по схеме сложных процентов

(1.4)

по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов -- для дробной части года)

(1.5)

где w -- целое число лет;

f -- дробная часть года.

Поскольку f<1 то (1+fr)>(1 +r)f , следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы. Можно показать, что при малых r наибольшая величина разности между (1.5) и (1.4) достигается при f ? 0,5.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем наращения исходной суммы Р:

схема сложных процентов

(1.6)

смешанная схема

(1.7)

где w -- целое число подпериодов в и годах;

f -- дробная часть подпериода;

т -- количество начислений в году;

r -- годовая ставка.

В приведенных алгоритмах показатели щ и f имеют разный смысл. Так в формуле (1.5) w означает целое число лет в п годах, а f-- дробную часть года и поэтому п = щ+f. Однако в формуле (1.7) щ означает целое число подпериодов в п годах, а f -- дробную часть подпериода и поэтому n=(щ+f)/m. Иными словами, при пользовании этими формулами надо отдавать себе отчет в том, о каком базисном периоде идет речь.

Все рассмотренные выше проценты называются дискретными, поскольку их начисление осуществляется за фиксированный промежуток времени (год, квартал, месяц, день, даже час). Уменьшая этот промежуток (период начисления) и увеличивая частоту начисления процентов, можно перейти к так называемым непрерывным процентам.

В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется разными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала. Из формулы (1.3) следует

(1.8)

так как согласно второму замечательному пределу , где трансцендентное число е ? 2,718281.

Чтобы отличить непрерывную ставку от обычной (дискретной), вводят специальное обозначение непрерывной ставки -- д и называют ее силой роста. Таким образом, формула для нахождения наращенной суммы за n лет при непрерывном начислении процентов принимает вид

(1.9)

где едn -- множитель наращения.

Формулой (1.9) пользуются и в тех случаях, когда n не является целым числом. Таким образом, при непрерывном начислении процентов в пределах одного года используется следующая базовая формула:

(1.10)

Различными видами финансовых контрактов могут предусматриваться различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается номинальная процентная ставка, обычно годовая. Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки и, во-вторых, не может быть использована для сопоставлений. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективности таких контрактов, необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка rе, обеспечивающая переход от Р к FVn при заданных значениях этих показателей и однократном начислении процентов.

Общая постановка задачи может быть сформулирована следующим образом. Задана исходная сумма Р, годовая процентная ставка (номинальная) r, число начислений сложных процентов m. Этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует вполне определенное значение наращенной величины FV1. Требуется найти такую годовую ставку rе, которая обеспечила бы точно такое же наращение, как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т. е. при m = 1. Иными словами, схемы {Р, FV1, r, m > l} и {Р, FV1, re, m= 1} должны быть равносильными.

Из формулы (1.3) следует, что в рамках одного года

(1.11)

Из определения эффективной годовой процентной ставки следует, что

(1.12)

В левой части каждого из двух уравнений -- одна и та же величина, а потому, приравнивая правые части уравнений, находим формулу взаимосвязи эффективной и номинальной ставок

(1.13)

Из формулы (1.13) следует, что эффективная ставка rе зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается. Кроме того, с помощью (1.13) для каждой номинальной ставки r можно найти соответствующую ей эффективную ставку; две эти ставки совпадают лишь при m = 1. Именно ставка re является критерием эффективности финансовой сделки и может быть использована для пространственно-временных сопоставлений.

Понимание роли эффективной процентной ставки чрезвычайно важно для финансового менеджера. Дело в том, что принятие решения о привлечении средств (например, банковской ссуды) на тех или иных условиях делается чаще всего исходя из приемлемости предлагаемой процентной ставки, которая в этом случае характеризует относительные расходы заемщика. В рекламных проспектах (непроизвольно или умышленно) внимание на природе ставки обычно не акцентируется, хотя в подавляющем числе случаев речь идет о номинальной ставке, которая может весьма существенно отличаться от эффективной ставки.

Различие между двумя ставками может быть гораздо более разительным при заключении некоторых специальных депозитных договоров, например, при оформлении депозита на условиях добавленного процента.

Математически можно показать, что при m > 1 справедливо неравенство re > r, которое следует и из финансовых соображений.

В финансовых соглашениях не имеет значения, какую из ставок указывать -- эффективную или номинальную, поскольку использование как одной, так и другой дает одну и ту же (с любой точностью приближения) наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, следовательно, формулу (1.3). В европейских странах, как правило, вначале определяют эффективную ставку re, соответствующую r, затем пользуются формулой

Из формулы (1.13) следует, в частности, соотношение для определения номинальной ставки r, если в контракте указаны эффективная годовая процентная ставка re и число начислений сложных процентов m:

(1.14)

Как мы видим из указанного, расчет и сравнение простых и сложных процентов обеспечен сложным математическим аппаратом, учитывающим различные условия размещения депозитов.

Приведенный математический аппарат будет использоваться при разработке программного модуля в соответствии с данной работой.