1.2. Математические исследования в расчетных операциях.

Под процентом понимается сумма, уплачиваемая за пользование денежными средствами. Отношение процента к величине денежных средств называется процентной ставкой. Если на добавленный процент не начисляется процент, то говорят о простом проценте. Расчет процентных ставок происходит следующим образом:

Если сумма равна К, процентная ставка - i, то простые проценты за n лет составят K* n* i , а сумма Кn есть накопленная с учетом простых процентов через n лет величина денежных средств К, то есть:

Кn=К+К*i*n=К*(1+i*n);

К= Кn / (1+i*n);

п=( Кn -К) / К*i;

i=(Кn-К) / К*n;

При начислении процентов по вкладным (и ссудным) операциям встречаются сложные проценты. В этих случаях доход от денежной суммы складывается с капиталом, на который он начисляется, и в следующем периоде он начисляется на денежную сумму, увеличенную таким образом. При начислении сложных процентов по ставкеiв течениеnлет конечная величина денежных средств К составит:

n

Кn = К *(1 +i)

log(1 +i) = (logКn -logК)/n

n= (log Кn -logК)/log(1 +i).

Определение начальной величины К на основе ее конечной величины Кn называется дисконтированием. Разность Dмежду конечной суммой Кn и начальной К называется дисконтом, т.е.:

D = Кn - К

В случае сложных процентов:

n

К = Кn /(1 +i)

n

Величина v = 1/(1+i) называется коэффициентом дисконта. На практике для облегчения расчетов пользуются таблицами, где даются значения коэффициентов дисконта для соответствующих норм процента и лет.

При начислении конечной суммы процент может добавляться раз в год, полугодие, квартал и т.д. (в общем случаеmраз в году). Конечная величина начальной суммы К черезnлет в случае, если процентная ставка естьi, а проценты начисляютсяmраз в год, составит:

m n

Кn = К*(1 +i /m)

Если начисление процентов происходит непрерывно, то:

m / i m x i x n / i

Кn = lim К*(1 + i / m) = K * lim(1 +1 / (m / i ))

n->ì n->ì

Учитывая, что:

m / i

lim(1 +1 / (m / i )) = e,

n->ì

конечная величина начальной суммы К через nлет в случае, если процентная ставка естьiа проценты начисляются непрерывно, составит:

m x i

Кn = К * e

Вклады, как известно, могут быть пополняемыми и непополняемыми.

Непополняемые вклады менее трудоемки для банка, а пополняемые более привлекательны для вкладчиков и к тому же позволяют увеличивать кредитные ресурсы банка.

Если в течение различных, равных по протяженности, периодов в начале каждого из них вносится постоянная сумма А под сложные проценты по ставке i, то суммуSнакопления периодических взносов можно выразить в следующей форме:

0 1 2

S= А1 +A2 +...+ Аn= А*((1 +i) + (1 +i) + (1 +i) +

n-1 n

+ ... + (1 + i) ) = А *(1 +i) *((1 +i)- 1))/i

Использование данной формулы позволит решить следующую задачу:

Какая сумма накопится через 10 лет, если периодический ежегодный взнос составляет 3000 рублей, а ставка сложного процента равняется 5 % годовых?

При вкладных операциях начисление дохода может производиться как по простым, так и по сложным процентам. При досрочном изъятии вклада под сложные проценты доход по депозиту начисляется одновременно по простым и сложным процентам.

Пусть Ао - первоначальная сумма депозита, А - конечная сумма, t- число полных лет, в течение которых хранился депозит,n - число дней вt+1 году, по истечении которых депозит был изъят.

Тогда t:

t

А = Аo*(1 +i) х (1 +i * n/360)

При исчислении процентов по вкладам нужно определить срок их хранения в течение года. Как известно, существует обыкновенный и точный способ подсчета дней. В первом случае год принимается равным 360 дням, во втором - берут действительное число дней.

При расчетах по депозитным операциям чаще всего год принимается равным 360 дням. В этом случае доход по депозиту рассчитывается следующим образом: берется сумма дохода с начала хранения вклада и до конца года, а также с момента окончания хранения и до конца года. Разница между данными суммами и составит величину процентного дохода по депозиту.

Большое значение для развития депозитных операций коммерческих банков имеет анализ следующих показателей:

• средний остаток вкладов за год;

• средний срок хранения вклада;

• коэффициент себестоимости привлечения вкладов;

• динамика роста вкладов;

• структура вкладчиков по величине вкладов.

Развитость кредитной системы характеризуется также показателем количества банков (или их филиалов) на 100 000 населения. Если обозначить через L1- общая численность населения, иL2 - численность занятого населения,LЗ - число вкладчиков и К - число банков или их филиалов, то отношениеL1/К.,L2/К,LЗ/К показывает сколько населения или вкладчиков приходится на один коммерческий банк (или филиал).

Средний срок хранения вкладного рубля определяется на основе следующей формулы:

t = а / Za * D,

где t- средний срок хранения вкладного рубля;

а - средний остаток вкладов;

Za- кредитовый оборот по вкладам.

Возможны два варианта привлечения депозитов. В первом варианте переменные издержки на 1 рубль привлеченных депозитов составляютZ1, а постоянные издержки по всему объему вкладных операцийS1. По второму варианту соответствующие показатели составляютZ2 иS2. Используя приведенную формулу, можно определить при каком объеме х привлеченных депозитов будет выгоднее первый или второй вариант (по условиямS1>S2).

Само по себе привлечение депозитов не может быть целью для банка. При стечении определенных обстоятельств коэффициент абсорбции депозитов может стать нулевым или даже отрицательным. Для недопущения такого положения дел необходимо минимизировать программу привлечения депозитов, необходимых для удовлетворения кредитных заявок клиентов коммерческого банка и поддержания достаточного уровня ликвидности.

Предположим, что имеется mвидов привлекаемых депозитов.

Пусть Yi обозначает величинуi-го депозита, а Вi- цену привлечения одного рубля этого депозита (i=1,2,..,m). Тогда функция

m

G=SYi *Вi

i=1

минимизировать. представляет собой общую стоимость привлечения депозитов, которую требуется

Будем считать, что прогнозируется поступление nкредитных заявок, Сj- величина кредита поj-ой кредитной заявке, а Аij- часть одного рубляi-го депозита, идущего на удовлетворениеj-ой кредитной заявки, исходя из критериев ликвидности данного коммерческого банка, т.е. задачу минимизации затрат по привлечению депозитов можно сформулировать следующим образом:

Найти minGпри условии, что:

m n

S Yi * Bi >S Ci,j=1,2,...,n.

i=1 j=1

Депозитная работа банка будет по крайней мере безубыточной до тех пор, пока найденное соотношение будет меньше величины процентного дохода по удовлетворенным кредитным заявкам.

Функциональная зависимость между спросом на депозиты и их ценой позволяет цену поставить в соответствие спросу, надлежащим образом определенному. Во многих случаях необходимо определить не величину спроса как таковую, а изменение спроса, вызываемое определенным изменением цены.

Предположим, что спрос у на депозиты зависит от их цены (величины процентов) х:

y=f(x)

Если Dx - приращение цены, аDу - приращение спроса, то относительное изменение цены естьDx/х, аDу/y - относительное изменение спроса. Частное (Dx /х) : (Dy/у)

выражает относительное изменение спроса при возрастании цены на 1 процент. Эластичность спроса (Еc) определяется как

Еc=(х/у)*(dx /dу).

Аналогично можно определить и эластичность спроса на банковские услуги относительно доходов клиентов, величины предоставленных кредитов от объема привлеченных депозитов и т.д.

Рассмотрим конкретный пример. Объем привлеченных депозитов и предоставленных кредитов определяется следующим выражением:

у= 100+0.8 *x,

где у - объем предоставленных кредитов;

х - величина привлеченных депозитов.

Определим эластичность функции:

Е(y)= (x/y): (dx/dу) = 0,8*x/(100 + 0,8*х).

x

При x=100;Е(y)=0.44

100

Это означает, что после привлечения коммерческим банком 100 млн. рублей депозитов дальнейшее увеличение депозитов на 1 млн. рублей позволит увеличить объем предоставленных кредитов на 440 тыс. рублей.

Работу аналитиков банка по привлечению новых и перспективных для данного банка клиентов можно проиллюстрировать на следующем примере.

Итальянский экономист Паретто сформулировал положение о распределении доходов в обществе.

Если через у обозначить число лиц, имеющих доход не меньший х, то:

m

у = а /х,

где а и х - постоянные.

Следует учесть, что закон Паретто достаточно точно описывает распределение достаточно высоких доходов (что в большей степени и интересует работников банка), а для низких доходов он не вполне корректен.

Если в районе, обслуживаемом данным банком, распределение доходов имеет вид:

1,5

у = 2 000 000 000 /х,

то работники банка для построения рациональной депозитной политики должны были бы получить ответы на следующие вопросы:

1. сколько человек обладают доходом, превышающим 100000 дол, в год?

2. какова нижняя величина дохода среди 100 самых состоятельных лиц района, обслуживаемого данным коммерческим банком?

Исходя из условий

1,5

у = 2 000 000 000 / 100 000

Из последнего выражения следует, что у = 63.2. Таким образом, 63 человека имеют доход, превышающий 100 000 дол.

Для ответа на второй вопрос учтем, что

1,5

100 = 2 000 000 000/х

Отсюда следует, что х = 73700 дол.

Исходя из проделанного анализа, руководство коммерческого банка должно учесть, что среди потенциальных клиентов банка находится 63 человека с годовым доходом 100 000 долларов, а нижняя граница дохода 100 наиболее состоятельных граждан составляет 73700 долларов.

В условиях существования высоких темпов инфляции необходимо четкое представление о дисконтированном значении доходов по депозитам, выплачиваемым в течение длительного периода времени. Удельная норма процента - i. Проценты начисляются непрерывно.

Предположив, что годовой доход вкладчика D=f(t) есть функция времениt, разделим отрезок времени вtлет на д равных отрезков времениt. При непрерывном начислении процентов дисконтированный доход составит:

-i x t

f(t)x/\tx е .

В отрезке времени (0,t) величина дисконтированного дохода составит:

t -i x t t -i x t

lim ò Sf(t) * e = ò Sf(t) * e dt.

0 0

В соответствии с Положением о безналичных расчетах все платежи со счетов предприятий осуществляются по распоряжению владельца счета и в очередности, определенной ст.855 Гражданского кодекса РФ (ч.2 в редакции Федерального закона от 12.08.96г. № 110-ФЗ).