3.1 Використання економіко-математичних методів із метою удосконалення планування і прогнозування в банках

Побудова економіко-статистичних моделей дозволяє дати кількісну характеристику зв'язку, залежності і взаємній обумовленості економічних показників. Хоча модель може претендувати лише на більш-менш спрощений відбиток дійсності, вона забезпечує строгий математичний підхід до дослідження сформованих економічних взаємозв'язків, до з'ясування питань про те, чи істотна досліджувана залежність, у якій формі вона виявляється тощо. Саме внаслідок математичної завершеності, кількісної певності своїх характеристик і оцінок економіко-статистична модель служить не тільки засобом аналізу попереднього розвитку, але й стає важливим інструментом планових розрахунків.

Математичні розрахунки вважають встановленими, якщо зв'язок між незалежним показником-фактором x і залежної перемінної у існує і характеризується функцією y=f(x).

Однієї з перших задач кореляційного аналізу є встановлення виду цієї функції, тобто відшукання такого кореляційного рівняння (рівняння регресії), що найкраще відповідає характеру досліджуваного зв'язку.

Рівняння прямої y=a₀+a₁x,

де x і y- відповідно незалежні перемінні,

a₀ і a₁- постійні коефіцієнти.

Висновок прямолінійності характеру зв'язку перевіряється спочатку шляхом простого зіставлення по наявним даним варіації залежної і незалежної перемінних, а також графічним способом.

При графічному способі кожне спостереження відзначається у вигляді крапки в прямокутній системі координат. При достатньо великій кількості спостережень розташованих крапок на графіку легко дозволяє переконатися в слушності або хибності уявлення про лінійний характер зв'язку між досліджуваними перемінними.

Другим етапом є виявлення рівняння прямої при даній конкретній залежності між x і y. Для цього необхідно визначити чисельні значення (a₀ і a₁), при яких пряма найкраще буде відповідати наявним фактичним даним.

Знаходимо мінімум квадратів відхилень, коефіцієнти яких відшукуємо методом найменших квадратів.

y=a₀+a₁x

(y_факт -y_расч)²=min

Рівняння прямої можна записати в такий спосіб:

y_расч=a₀+a₁x_факт,

підставляючи значення y_расч в умову мінімізації суми квадратів одержимо:

(y_факт-a₀-a₁x)²=min

Визначивши мінімізуючу функцію в цілому через f і відкинувши yx і y, підписні літери, маємо:

f

=-2(y-a₀-a₁x)=0;

a₀

f

=-2(y-a₀-a₁x)x=0;

a₁

Після перетворення одержимо систему нормальних рівнянь, рішення яких призводить до визначеного розміру коефіцієнтів a₀ і a₁:

y=Na₀+a₁x;

xy=a₀x+a₁x²;

де N - число одиниць спостережень (36),

x -сума наданих кредитів (10999),

y -сума прибутку банку (569),

xy=176835,3

x²=3514981,8 (Див. додаток таблицю 3.1).

У результаті маємо систему рівнянь:

569=36a₀+10999a₁;

176311,8=10999a₁+3514981,8a₁;

36a₀=569-10999a₁;

a₀=(569-10999a₁)/36;

a₁=0,0159;

a₀=10,95.

Рівняння має вигляд: y =10,95+0,0159x;

Підставимо вибірково 7-е і 25-е значення. Пряма лінія, що відповідає цьому рівнянню, проведена на графіку 3.1.

Модель аналізованої залежності відповідає логіці економічного аналізу, чим більше сума виданих кредитів, там більше прибуток банку.

Тепер необхідно з'ясувати, чи є зв'язок між аналізованими показниками і наскільки вона сильна.

Середня сума прибутку дорівнює 15,81 тис.грн. на місяць.

Просте зіставлення даних 7-й і 9-й граф таблиці призводить до явного висновку: відхилення від прямої менше відхилень від середньої, отже, оцінки по рівнянню набагато точніше оцінок по середньому розміру досліджуваної ознаки.

Дамо нашому висновку кількісне вираження, тобто обчислимо, наскільки усі відхилення від середньої перевищують відхилення від прямої. Цю задачу не можна, очевидно, розв’язати шляхом підсумовування самих відхилень, тому що сума в обох випадках рівна нулю. Скористаємося квадратами відхилень.

Дисперсія (s²y).

(y-y)²

s²_y= ; (3.1)

N

s²_y = 584,06/36 = 16,22;

s_y=  16,22 = 4,03;

Такі ж операції варто проробити і з відхиленнями від прямої.

Нову дисперсію позначимо через s²_yx , показуючи цим, що в даному випадку ми розглядаємо y як залежний розмір стосовно x. Дисперсія значень y складає:

s²_yx=544,84/36=15,13;

s_yx=  15,13=3,89;

Це означає, що дійсний прибуток банку, відхиляється від прибутку, обчисленої по рівнянню, у середньому на 3,89 тис.грн. Розмір s_yx характеризує надійність оцінок, отриманих по рівнянню прямої, а розмір s_y показує надійність оцінок за допомогою середньої.

Визначаємо наскільки скоротилася сума квадратів відхилень при переході від середньої арифметичної до рівняння прямої:

s²_y-s²_yx 16,22-15,13

= = 0,067; (3.2)

s²_y 16,22

Розмір 0,067 (коефіцієнт детермінації) характеризує силу впливу даної причини (сума виданих кредитів) на пов'язаний із нею показник (сума прибутку). Коефіцієнт детермінації обчислюється як відношення квадратів відхилень. Для переходу до першого ступеня необхідно витягти квадратний корінь, одержуємо коефіцієнт кореляції:

s²_y-s²_yx

r= = 0,067 = 0,26; (3.3)

s²_y

Рівняння зв'язку і коефіцієнт кореляції є двома найважливішими характеристиками кореляційної залежності, що узагальнюють, між досліджуваними ознаками. Рівняння в конкретній кількісній формі показує, яка існує залежність між двома перемінними, а коефіцієнт кореляції дозволяє судити про силу цієї залежності, про тісноту досліджуваного зв'язку.

Тіснота зв'язку між перемінними може бути змінена за допомогою індексу кореляції (i), що визначається аналогічно коефіцієнту для лінійної форми зв'язку, тобто за формулою:

s²_yx

i= 1- ; (3.4)

s²_y

де s²_yx -середнє квадратичне відхилення фактичних значень y від значень, обчислених по рівнянню кривої,

s²_y -середнє квадратичне відхилення фактичних значень y від їх середнього арифметичного розміру.

15,13

i= 1- = 1-0,93 = 0,27;

16,22

Індекс кореляції умовний розмір, що розраховується лише стосовно конкретної форми кривої. Як бачимо питому вагу суми виданих кредитів дорівнює 0,27, або 27% прибутку банку відбувається за рахунок зміни суми виданих кредитів. Тому розмір обраного чинника на прибуток банку істотно впливає. Визначимо середню квадратичну помилку коефіцієнта кореляції вибіркової сукупності:

1 1

_r = = = 0,1; (3.5)

 N – 1  35

Визначимо відношення коефіцієнта кореляції вибіркової сукупності до запропонованої квадратичної помилки:

0,259

= 1,53;

0,169

Різниця i – r = 0,27 – 0,261 = 0,009; 0,009 < 0,1;

Отже, лінійна форма зв'язку обрана правильно.

10999

_ост. =  = 17,48;

36

_ост. 17,48

V= * 100% = * 100% = 3,07%. (3.6)

y 569

Даний коефіцієнт означає, що запропонованою економіко-математичною моделлю можна користуватися, при вивченні впливу суми виданих кредитів на прибуток банку.