§2. Коэффициенты прямых затрат

Приведенные выше системы уравнений (1) и (2) отражают линейную зависимость между затратами на производство и выпуском продукции. Если увеличить производство продукции какой-либо отрасли, то соответственно (при прочих равных условиях) возрастут и затраты на производство продукции данной отрасли. Количественно эта связь выражается через коэффициенты затрат продукции одной отрасли на производство продукции другой отрасли. Коэффициенты эти принято обозначать через a_ij. Они показывают расход продукции i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли и исчисляются по следующей формуле:

a_ij= ,

откуда

x_ij= ,

где a_ij – коэффициенты затрат продукции отрасли i напроизводство единицы продукции отрасли j; x_ij – общий объем затрат продукции отрасли i на производство продукции отрасли j; Y_j – общий объем производства продукции отрасли j.

При этом если x_ij и Y_j даны в ценностном выражении, то и a_ij является удельным расходом в рублях на 1 р. продукции. Если же x_ij и Y_j даны в натуральном выражении, то a_ij будет удельным расходом в натуральном выражении (единиц i-го продукта на единицу j-го продукта).

Коэффициенты затрат a_ij отражают прямые связи между отраслями. Например, расход угля непосредственно на выработку электроэнергии, расход металла непосредственно на производство станков и т.д. Поэтому их называют коэффициентами прямых затрат.

Если выразить общий объем затрат продукции одних отраслей на производство продукции других отраслей (x_ij) через произведение коэффициентов прямых затрат на весь выпуск потребляющей отрасли (a_ij Y_j), то система уравнений использования продукции в народном хозяйстве, по данным межотраслевого баланса в ценностном выражении, примет следующий вид:

Y₁=a₁₁Y₁+a₁₂Y₂+…+a_1jY_j+…+a_1mY_m+y₁;

Y₂=a₂₁Y₁+a₂₂Y₂+…+a_2jY_j+…+a_2mY_m+y₂;

…………………………………………………

Y_i=a_i1Y₁+a_i2Y₂+…+a_ijY_j+…+a_imY_m+y_i;

…………………………………………………

Y_n=a_n1Y₁+a_n2Y₂+…+a_njY_j+…+a_nmY_m+y_n;

или в сокращенной записи

Y_i= при (i=1,2,…,n).                                              (6)

Если теперь выписать коэффициенты прямых затрат (a_ij) в отдельную таблицу, то они образуют матрицу коэффициентов прямых затрат, характеризующих производственные связи между отраслями. Матрица эта имеет следующий вид:

                                                (7)

Приведенную выше систему уравнений (6) в матричной форме можно записать в виде:

Y=AY+y,                                                                   (8)

где A – упомянутая матрица коэффициентов a_ij; Y – вектор-столбец Y; y – вектор-столбец y.

Эта же система уравнений (8) может быть представлена в виде:

(E-A)Y = y,                                                                 (9)

где Е – единичная матрица (матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, остальные элементы матрицы равны 0).

В матричной форме это записывается в виде

.                        (10)

Такая символика, широко применяемая в линейной алгебре, очень удобна для пользования, так как освобождает от необходимости громоздких записей матриц в развернутом виде.