Аналіз рівноваги особи, яка страхується

Математична модель клієнта страхової компанії

Нагадаємо запроваджені позначення:

А ‑ величина активу клієнта;

π ‑ імовірність страхового випадку;

r ‑ питомий страховий внесок (плата страховій компанії за кожну одиницю застрахованого майна);

q ‑ питома страхова винагорода (відшкодування страховою компанією, яке припадає на кожну одиницю застрахованого активу). Додатково позначимо через

х ‑ величину страхованого активу (її обирає клієнт страхової компанії); и(∙) ‑ функцію корисності за Нейманом-Моргенштерном клієнта, яка визначена на залишку активу після страхового випадку.

Якщо трапиться страховий випадок, то страхова компанія відшкодує клієнтові величину qx. Отже, якщо клієнт застрахував х одиниць активу, й трапився страховий випадок, то у клієнта залишається qx. За решту компанія відповідальності не несе. Якщо ж страхового випадку не буде, то залишок активу становитиме величину А ‑ rх. Корисність у разі страхового випадку становить величину u(qx), в протилежному випадку ‑ и(А ‑ rх). Сподівана корисність за обсягу страхування х дорівнюватиме величині Поведінка клієнта описуватиметься моделлю:

(1)

Гранична сподівана корисність та сподівання граничної корисності

Припустимо, обсяг страхування збільшився на одиницю. Тоді у разі страхового випадку відшкодування зросте на величину q, а корисність ‑ на величину MU(qx)∙q, де MU ‑ гранична корисність залишку активу. Якщо страхового випадку не буде, то втрата клієнта збільшиться на величину r, а корисність ‑ на величину MU(A‑rx)∙r. Останню величину можна інтерпретувати як граничну шкоду (або зі знаком мінус), як граничну корисність страхування за відсутності страхового випадку, а величину MU(qx)∙q ‑ як граничну корисність страхування за наявності страхового випадку. Сподівана гранична корисність дорівнюватиме величині:

Водночас ця величина показує приріст сподіваної корисності внаслідок зміни (збільшення) обсягу страхування, тобто вона є й граничною сподіваною корисністю.

Отже, гранична сподівана корисність страхування збігається із сподіваною граничною корисністю.

Цей факт також негайно підтверджується відомими правилами диференціювання:

Величина и'(А ‑ rx)(-r) є іншим записом величини MU(A ‑ rх) ∙ (-r), тобто граничною корисністю страхування за відсутності страхового випадку, u'(qx)q ‑ величини MU(qx)∙q, тобто граничною корисністю страхування за наявності страхового випадку.

З припущення про монотонне зростання функції корисності випливає цікавий факт: гранична корисність страхування ‑ додатна величина у разі страхового випадку (коли трапляється нещастя) і від'ємна ‑ за відсутності страхового випадку. На перший погляд, парадоксальне твердження, але за більш детального розгляду воно відповідає логіці поведінки індивіда: якщо все гаразд, то гроші, витрачені на страхування, здаються марно втраченими; коли ж трапляється біда, то кожна вкладена гривня в страхування дає незрівнянно більшу користь.

Теорема про рівновагу

Теорема 1

Припустимо, клієнт ‑ несхильний до ризику й має монотонно зростаючу та диференційовану функцію корисності. У цьому разі,

(2)

то клієнт ухиляється від страхування,

якщо

(3)

то клієнт страхує весь актив;

якщо ж

(4)

то клієнт страхує частку свого активу (але не весь актив), причому для обсягу страхування, який забезпечує максимальну сподівану корисність х*, виконується:

(5)

Доведення

Оскільки клієнт несхильний до ризи­ку, то його функція корисності увігнута. Доведення базується на властивостях увігнутих функцій. Дійсно, з властивостей увігнутих функцій з увігнутості функції корисності и(х) випливає увігнутість функції сподіваної корисності u(x). Звідси, гранична сподівана корисність U'(x) спадає у разі зростання обсягу страхування. Отже, максимальна гранична сподівана корисність буде спостерігатись у точці 0. За максимального обсягу страхування гранична сподівана корисність буде мінімальною. Таким чином, можна виписати співвідношення для задачі (1):

(2')

(3')

(4')

Оскільки,

то

Сполучаючи останні три співвідношення з (2'), (3'), (4') отримуємо доведення теореми про рівновагу.

Аналіз рівноваги

Рівняння (5) допускає таке читання: в стані рівноваги гранична корисність страхування за наявності страхового випадку, перемножена на його імовірність, збігається з граничною шкодою від страхування за відсутності страхового випадку, перемноженою на його імовірність.

Отже, клієнт балансує граничну шкоду та граничну корисність для визначення найбільш привабливого для себе обсягу страхування, причому, враховуючи імовірність страхового випадку.

Нерівність (2) можна переписати таким чином:

тобто, якщо гранична шкода першої одиниці страхування за відсутності страхового випадку, перемножена на імовірність недоторканості активу, перевищує граничну корисність останньої одиниці активу за умови, що страховий випадок трапився, перемножену на його імовірність, то клієнт не схильний до страхування в будь-яких обсягах.

Аналогічну інтерпретацію можна дати й для нерівності (3), коли переписати її у вигляд

маючи на увазі, що величина u'((1-r)A)r характеризує граничну шкоду від страхування за максимально можливого його обсягу за умови недоторканості активу, a u'(qA)q ‑ граничну корисність максимально можливого обсягу страхування за умови, коли трапляється страховий випадок.

Звернемось ще раз до рівняння рівноваги (5), для того щоб помітити цікаву деталь: оскільки здебільшого імовірність недоторканості активу 1-π істотно більша імовірності страхового випадку π, то гранична корисність страхування за умови страхового випадку повинна бути набагато більшою від граничної шкоди від страхування за умови, коли страховий випадок не трапляється.

Окремий випадок теореми про рівновагу

Якщо страхова компанія повністю відшкодовує актив клієнтові у разі страхового випадку, тобто, коли q=1, то маємо простий, але важливий наслідок з теореми про рівновагу.

Якщо q=1, то

(6)

(7)

(8)

причому

(9)

Імовірність страхового випадку та реакція клієнта страхової компанії

Розглянемо вплив імовірності страхового випадку на обсяг страхування клієнта. Дослідимо простий випадок, коли q=1 (хоча всі висновки зберігаються й для більш загального випадку).

Із несхильності до ризику особи, яка страхується, а звідси ‑ з увігнутості його функції корисності випливає:

(коли r < 1).

Звідси:

Характер поведінки клієнта страхової компанії залежатиме від того, в якому інтервалі

(10)

(11)

чи

(12)

перебуватиме величина .

Неважко помітити, що за фіксованого питомого платежу r спадає у разі зростання , причому та

Отже, за достатньої близькості імовірності страхового випадку до одиниці величина буде малою й потраплятиме в інтервал (10), а отже, згідно з (7) клієнт страхуватиме свій актив повністю. Якщо ж дещо зменшуватиметься, то величина збільшуватиметься, поки не потрапить до інтервалу (11), а тоді, згідно з (8), клієнт не буде страхувати актив повністю. За подальшого зменшення імовірності страхового випадку величина ще збільшиться й потрапить до інтервалу (12). У цьому разі, згідно з (6), людина вже не буде клієнтом страхової компанії.